Verifique se as matrizes abaixo são invertíveis e encontre a inversa quando for o caso.
\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 2 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
é invertível e, se for, encontrar A^{-1}. O conteúdo principal aqui é o cálculo do determinante para testar invertibilidade e, em seguida, usar a matriz dos cofactores (ou adjunta) para obter a inversa.

Passo 2

Vamos calcular o determinante de A por desenvolvimento na primeira linha:
\det(A) = 1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix} +0\cdot(\dots).
Agora,
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix} =2\cdot1 - 1\cdot1 = 1, \quad \det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix} =1\cdot1 -1\cdot1 = 0.
Logo,
\det(A) = 1\cdot1 - 1\cdot0 = 1.

Passo 3

Como \det(A)=1\neq0, concluímos que A é invertível. Para obter A^{-1}, vamos montar a matriz dos cofactores C, depois transpor para formar a adjunta \operatorname{adj}(A) e dividir por \det(A).

Passo 4

Calculemos os cofactores C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, onde M_{ij} é o menor complementar de a_{ij}. O resultado é
C=\begin{pmatrix} \;1 & 0 & -1\\\\ -1 & 1 & 0\\\ \;1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
A adjunta é a transposta de C:
\operatorname{adj}(A) = C^T = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 0 & \;1 & -1\\\\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Como \det(A)=1, temos
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A) = \operatorname{adj}(A).

Resposta

A matriz é invertível e
A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 0 & 1 & -1\\\\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

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