Verifique se as matrizes abaixo são invertíveis e encontre a inversa quando for o caso.
\left[\begin{array}{ll}2 & 5 \\\\ 8 & 9\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix}2 & 5 \\\\ 8 & 9\end{pmatrix}
é invertível e, em caso afirmativo, calcular A^{-1}.
O conteúdo principal aqui é o cálculo do determinante para decidir invertibilidade e a aplicação da fórmula da inversa de uma matriz 2\times2.

Passo 2

Para uma matriz \displaystyle A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},
sabemos que
\det(A)=ad - bc.
No nosso caso, a=2, b=5, c=8 e d=9. Logo,
\det(A) = 2\cdot 9 \;-\; 5\cdot 8 = 18 - 40 = -22.

Passo 3

Como \det(A) = -22 \neq 0, concluímos que A é invertível.
A fórmula da inversa para matrizes 2\times2 diz que
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\[6pt] -c & a \end{pmatrix}.]

Passo 4

Aplicando a fórmula aos valores de A, temos
A^{-1} = \frac{1}{-22} \begin{pmatrix} 9 & -5 \\[4pt] -8 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac{9}{22} & \tfrac{5}{22} \\[6pt] \tfrac{8}{-22} & \tfrac{2}{-22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac{9}{22} & \tfrac{5}{22} \\[4pt] -\tfrac{4}{11} & -\tfrac{1}{11} \end{pmatrix}.]

Resposta

A matriz A é invertível e
A^{-1} = \begin{pmatrix} -\tfrac{9}{22} & \tfrac{5}{22} \\[4pt] -\tfrac{4}{11} & -\tfrac{1}{11} \end{pmatrix}.]

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