Verifique se as matrizes abaixo são invertíveis e encontre a inversa quando for o caso.
\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 \\\\ 4 & 5 & 2 \\\\ 4 & 11 & 12\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ 4 & 5 & 2\\\\ 4 & 11 & 12 \end{pmatrix}
é invertível e, se for, encontrar A^{-1}.
Conteúdo: determinante e matriz inversa por adjunta.

Passo 2

Calculamos o determinante de A por cofactores na primeira linha:
\det(A) =0\cdot\det\!\begin{pmatrix}5&2\\\ 11&12\end{pmatrix} -1\cdot\det\!\begin{pmatrix}4&2\\\ 4&12\end{pmatrix} +1\cdot\det\!\begin{pmatrix}4&5\\\ 4&11\end{pmatrix}.
Então
\det(A) =-\bigl(4\cdot12-2\cdot4\bigr) +\bigl(4\cdot11-5\cdot4\bigr) =-\,(48-8)+(44-20) =-40+24=-16.
Como \det(A)\neq0, A é invertível.

Passo 3

Calculamos a matriz de cofactores C = (C_{ij}).
Para cada elemento a_{ij},
C_{ij} = (-1)^{i+j}\det(M_{ij}),
onde M_{ij} é a submatriz obtida excluindo linha i e coluna j.
Os cofactores são:
C = \begin{pmatrix} \phantom{-}38 & -40 & \phantom{-}24\\\\ -1 & -4 & \phantom{-}4\\\\ -3 & \phantom{-}4 & -4 \end{pmatrix}.

Passo 4

A adjunta de A é a transposta de C:
\operatorname{adj}(A) = C^{T} =\begin{pmatrix} 38 & -1 & -3\\\\ -40 & -4 & 4\\\\ 24 & 4 & -4 \end{pmatrix}.

Passo 5

Finalmente,
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A) = -\frac{1}{16} \begin{pmatrix} 38 & -1 & -3\\\\ -40 & -4 & 4\\\\ 24 & 4 & -4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -\tfrac{19}{8} & \tfrac{1}{16} & \tfrac{3}{16}\\\ \tfrac{5}{2} & \tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{4}\\\\ -\tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{4} \end{pmatrix}.

Resposta

A matriz é invertível (pois \det(A)=-16\neq0) e
A^{-1} =\begin{pmatrix} -\tfrac{19}{8} & \tfrac{1}{16} & \tfrac{3}{16}\\\ \tfrac{5}{2} & \tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{4}\\\\ -\tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{4} \end{pmatrix}.

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