Verifique se as matrizes abaixo são invertíveis e encontre a inversa quando for o caso.
\left[\begin{array}{llll}0 & 3 & 0 & 0 \\\\ 1 & 1 & 3 & 1 \\\\ 2 & 2 & 1 & 2 \\\\ 1 & 0 & 2 & 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 0 & 0 \\\\ 1 & 1 & 3 & 1 \\\\ 2 & 2 & 1 & 2 \\\\ 1 & 0 & 2 & 5 \end{pmatrix}
é invertível e, em caso positivo, encontrar A^{-1}. Para isso, vamos usar o método de Gauss–Jordan montando a matriz aumentada \bigl[A\mid I_4\bigr] e transformá-la em \bigl[I_4\mid A^{-1}\bigr].

Passo 2

Montamos a matriz aumentada inicial:
\bigl[A\mid I_4\bigr] = \left(\begin{array}{cccc|cccc} 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 2 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).

Passo 3

Como A_{11}=0, trocamos a linha 1 com a linha 2. Depois usamos o pivô da nova linha 1 para zerar as entradas abaixo na coluna 1:
\text{R1}\leftrightarrow \text{R2}, \quad \begin{cases} \text{R3}\leftarrow \text{R3}-2\,\text{R1},\\\ \text{R4}\leftarrow \text{R4}-1\,\text{R1}. \end{cases}
O resultado parcial é
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 1 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & -5 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0\\\\ 0 & -1 & -1 & 4 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right).

Passo 4

Agora pivotamos na coluna 2: dividimos a linha 2 por 3 e eliminamos as outras entradas da coluna 2:
\text{R2}\leftarrow \frac{1}{3}\,\text{R2}, \quad \begin{cases} \text{R1}\leftarrow \text{R1}-1\,\text{R2},\\\ \text{R4}\leftarrow \text{R4}+1\,\text{R2}. \end{cases}
Fica
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 3 & 1 & -\tfrac13 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & \tfrac13 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & -5 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 & 4 & \tfrac13 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right).

Passo 5

Seguimos para a coluna 3: dividimos a linha 3 por -5 e eliminamos na mesma coluna:
\text{R3}\leftarrow -\tfrac15\,\text{R3}, \quad \begin{cases} \text{R1}\leftarrow \text{R1}-3\,\text{R3},\\\ \text{R4}\leftarrow \text{R4}+1\,\text{R3}. \end{cases}
Obtém-se
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 1 & -\tfrac13 & -\tfrac15 & \tfrac35 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & \tfrac13 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \tfrac25 & -\tfrac15 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 4 & \tfrac13 & -\tfrac35 & -\tfrac15 & 1 \end{array}\right).

Passo 6

Finalmente, pivotamos na coluna 4: dividimos a linha 4 por 4 e eliminamos na coluna 4:
\text{R4}\leftarrow \tfrac14\,\text{R4}, \quad \text{R1}\leftarrow \text{R1}-1\,\text{R4}.
Chegamos a
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & -\tfrac5{12} & -\tfrac1{20} & \tfrac{13}{20} & -\tfrac14\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & \tfrac13 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \tfrac25 & -\tfrac15 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & \tfrac1{12} & -\tfrac3{20} & -\tfrac1{20} & \tfrac14 \end{array}\right).

Passo 7

A parte direita da matriz aumentada é exatamente A^{-1}. Concluímos que A é invertível e
A^{-1} = \begin{pmatrix} -\tfrac5{12} & -\tfrac1{20} & \tfrac{13}{20} & -\tfrac14\\\ \tfrac13 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & \tfrac25 & -\tfrac15 & 0\\\ \tfrac1{12} & -\tfrac3{20} & -\tfrac1{20} & \tfrac14 \end{pmatrix}.

Resposta

A matriz é invertível, e sua inversa é
A^{-1} = \begin{pmatrix} -\tfrac5{12} & -\tfrac1{20} & \tfrac{13}{20} & -\tfrac14\\\ \tfrac13 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & \tfrac25 & -\tfrac15 & 0\\\ \tfrac1{12} & -\tfrac3{20} & -\tfrac1{20} & \tfrac14 \end{pmatrix}.

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