1. Verifique se as matrizes:
\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{llll} 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{llll} 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right]
são LI.

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores (escritos como linhas) em \mathbb{R}^{4}:
\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right],\qquad \left[\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right],\qquad \left[\begin{array}{llll}0 & 1 & 1 & 0\end{array}\right].
A pergunta é: esses três vetores são linearmente independentes (LI) ou dependentes?

Passo 2

Primeiro, o que significa ser linearmente independente? Vou explicar devagar.
  • Três vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes se a única solução do sistema
\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3 = 0
é \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0. Aqui cada \alpha_i é um número real (coeficiente) e 0 é o vetor nulo em \mathbb{R}^4.
Aplicando isso aos vetores dados, chamo
v_1=\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right],\quad v_2=\left[\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right],\quad v_3=\left[\begin{array}{llll}0 & 1 & 1 & 0\end{array}\right].
Vamos resolver explicitamente a equação
\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3 = 0.

Passo 3

Escrevendo a combinação componente a componente (cada vetor tem 4 componentes), obtemos um sistema de equações para \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3.
Primeira componente:
\alpha_1+\alpha_2+0\cdot\alpha_3=0\quad\Rightarrow\quad \alpha_1+\alpha_2=0.
Segunda componente:
0\cdot\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=0\quad\Rightarrow\quad \alpha_2+\alpha_3=0.
Terceira componente:
0\cdot\alpha_1+0\cdot\alpha_2+\alpha_3=0\quad\Rightarrow\quad \alpha_3=0.
Quarta componente:
\alpha_1+\alpha_2+0\cdot\alpha_3=0\quad\Rightarrow\quad \alpha_1+\alpha_2=0,
que é a mesma equação da primeira componente (ou seja, não traz nova informação).
Agora vamos resolver essas equações passo a passo:
  • Da terceira equação temos \alpha_3=0.
  • Substituindo em \alpha_2+\alpha_3=0 obtemos \alpha_2+0=0, logo \alpha_2=0.
  • Substituindo \alpha_2=0 em \alpha_1+\alpha_2=0 obtemos \alpha_1+0=0, logo \alpha_1=0.
Portanto a única solução é \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0.

Passo 4

Como checagem alternativa (útil em provas), monto a matriz cujas linhas são os vetores dados e faço eliminação de Gauss para ver o posto (rank). A matriz é
A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}.
Faço as operações:
  • R_2 \leftarrow R_2 - R_1
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}.
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_2
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}.
Agora vemos três pivôs (colunas 1, 2 e 3), logo \operatorname{rank}(A)=3. Como temos três vetores e o posto é 3, as três linhas são linearmente independentes.]

Passo 5

Interpretação final e confiança: a resolução direta das componentes mostrou \alpha_3=0\Rightarrow\alpha_2=0\Rightarrow\alpha_1=0. A eliminação de Gauss confirmou que o posto é 3. Ambos os métodos levam à mesma conclusão.

Resposta

Sim — os três vetores são linearmente independentes.

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