- Determine os valores de
para os quais o sistema possui infinitas soluções:
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear
e pede: determinar os valores de
, para os quais o sistema possui infinitas soluções.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- As duas equações são lineares em
e . - O segundo membro da segunda equação é o parâmetro
, que pode variar.]
Passo 2
Conceito importante (explicado passo a passo). Para um sistema linear de duas equações
há três possibilidades:
- Uma única solução quando as equações são independentes (não proporcionais).
- Nenhuma solução se as retas são paralelas distintas.
- Infinitas soluções se as duas equações representam a mesma reta (são proporcionais entre si, inclusive nos termos constantes).
Uma maneira prática de verificar isso é calcular o determinante dos coeficientes
- Se
então existe exatamente uma solução. - Se
então as retas são paralelas ou coincidentes; nesse caso há infinitas soluções somente se também valer
isto é, os três coeficientes são proporcionais (quando os denominadores fizerem sentido).
Exemplo rápido e concreto para fixar a ideia: as equações
e
têm infinitas soluções porque a segunda é exatamente
vezes a primeira (coeficientes e termo independente proporcionais).]
Passo 3
Aplicando ao nosso sistema, identifique os coeficientes:
Calcule o determinante dos coeficientes:
Como
, pelo critério acima o sistema tem exatamente uma solução para qualquer valor de
. Logo não há valor de
que torne as equações proporcionais (e, portanto, infinitas soluções).
Passo 4
Outra forma de ver — resolução direta para confirmar unicidade: subtraia a primeira equação da segunda:
Substituindo em
:
Obtém-se a solução única
para qualquer
. Isso reforça que para cada
existe exatamente uma solução (não infinitas).
Passo 5
Comentário final rápido e incentivo: apesar do desespero, esse tipo de sistema se resolve rápido com o determinante ou com eliminação. Aqui as duas abordagens mostram a mesma conclusão — nada de infinitas soluções, só solução única sempre. Você está conseguindo!
Resposta
Não existe valor de
que torne o sistema com infinitas soluções.