1. Determine os valores de k para os quais o sistema possui infinitas soluções:
\{x+y=22 x+2 y=k

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x+y=22,\\[4pt] x+2y=k, \end{cases}
e pede: determinar os valores de \,k, para os quais o sistema possui infinitas soluções.
Informações relevantes dadas:
  • As duas equações são lineares em \,x e \,y.
  • O segundo membro da segunda equação é o parâmetro \,k, que pode variar.]

Passo 2

Conceito importante (explicado passo a passo). Para um sistema linear de duas equações
\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1,\\[4pt] a_2 x + b_2 y = c_2, \end{cases}
há três possibilidades:
  • Uma única solução quando as equações são independentes (não proporcionais).
  • Nenhuma solução se as retas são paralelas distintas.
  • Infinitas soluções se as duas equações representam a mesma reta (são proporcionais entre si, inclusive nos termos constantes).
Uma maneira prática de verificar isso é calcular o determinante dos coeficientes
D = a_1 b_2 - a_2 b_1.
  • Se \,D \neq 0 então existe exatamente uma solução.
  • Se \,D = 0 então as retas são paralelas ou coincidentes; nesse caso há infinitas soluções somente se também valer
\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2},
isto é, os três coeficientes são proporcionais (quando os denominadores fizerem sentido).
Exemplo rápido e concreto para fixar a ideia: as equações \,x+y=2 e \,2x+2y=4 têm infinitas soluções porque a segunda é exatamente 2 vezes a primeira (coeficientes e termo independente proporcionais).]

Passo 3

Aplicando ao nosso sistema, identifique os coeficientes:
a_1=1,\quad b_1=1,\quad c_1=22; \qquad a_2=1,\quad b_2=2,\quad c_2=k.
Calcule o determinante dos coeficientes:
D = a_1 b_2 - a_2 b_1 = 1\cdot 2 - 1\cdot 1 = 2-1 = 1.
Como \,D=1\neq 0, pelo critério acima o sistema tem exatamente uma solução para qualquer valor de \,k. Logo não há valor de \,k que torne as equações proporcionais (e, portanto, infinitas soluções).

Passo 4

Outra forma de ver — resolução direta para confirmar unicidade: subtraia a primeira equação da segunda:
(x+2y)-(x+y)=k-22 \;\Rightarrow\; y = k-22.
Substituindo em x+y=22:
x+(k-22)=22 \;\Rightarrow\; x=44-k.
Obtém-se a solução única
x=44-k,\qquad y=k-22,
para qualquer \,k. Isso reforça que para cada \,k existe exatamente uma solução (não infinitas).

Passo 5

Comentário final rápido e incentivo: apesar do desespero, esse tipo de sistema se resolve rápido com o determinante ou com eliminação. Aqui as duas abordagens mostram a mesma conclusão — nada de infinitas soluções, só solução única sempre. Você está conseguindo!

Resposta

Não existe valor de k que torne o sistema com infinitas soluções.

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