- Verifique se os polinômios:
são LI em
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se os polinômios
são linearmente independentes no espaço
. Informações relevantes dadas:
- Os vetores a testar são os três polinômios acima.
- O espaço
é o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a (coeficientes reais, presumivelmente). - A pergunta exige verificar independência linear (ou dependência) desses três elementos.
Passo 2
Definição que vamos usar (explicando devagar como em prova). Três vetores
são linearmente independentes se a única solução do sistema
é
. Aqui
é o vetor nulo do espaço: no
o vetor nulo é o polinômio nulo (o polinômio que tem todos coeficientes zero). Se existir uma solução com algum
, então são linearmente dependentes. Vou aplicar exatamente isso: montar a combinação linear igual ao polinômio nulo e ver se aparecem soluções não-triviais.
Passo 3
Introduzo coeficientes escalares
(são números reais) e escrevo a combinação linear igual ao polinômio nulo:
Aqui
é o polinômio nulo, isto é, o polinômio cujo coeficiente constante é
e cujo coeficiente de
é
.
Passo 4
Faço a expansão e agrupo os termos por potências de
(constante e termo em
), porque dois polinômios são iguais se e só se seus coeficientes correspondentes são iguais:
Passo 5
Igualo os coeficientes ao polinômio nulo. O polinômio nulo tem coeficiente constante
e coeficiente de
igual a
. Assim obtemos o sistema de equações lineares:
Passo 6
Resolvo o sistema passo a passo. Da primeira equação obtemos
Substituo na segunda equação:
Isolando
:
Passo 7
Portanto as soluções do sistema têm a forma
isto é, um parâmetro livre
. Se escolhemos
recuperamos a solução trivial
. Mas existe qualquer escolha de
que gera uma solução não-trivial. Por exemplo, tomando
obtemos
Passo 8
Exibindo a combinação linear não-trivial que anula os polinômios (para deixar bem concreto):
Posso checar rapidamente: o lado esquerdo é
Como existe essa relação linear não-trivial, concluímos que os três polinômios são linearmente dependentes.
Passo 9
Comentário extra (útil para prova): uma observação rápida e poderosa é que
(um polinômio de grau
é determinado por dois coeficientes). Qualquer conjunto com mais de
vetores em um espaço de dimensão
é necessariamente linearmente dependente. Assim, a dependência era esperada já pelo simples conta de dimensões.
Resposta
São linearmente dependentes.