1. Verifique se os polinômios:
1+x, \quad 1-x, \quad x
são LI em P_{1}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os polinômios
1+x,\qquad 1-x,\qquad x
são linearmente independentes no espaço P_{1}. Informações relevantes dadas:
  • Os vetores a testar são os três polinômios acima.
  • O espaço P_{1} é o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 1 (coeficientes reais, presumivelmente).
  • A pergunta exige verificar independência linear (ou dependência) desses três elementos.

Passo 2

Definição que vamos usar (explicando devagar como em prova). Três vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes se a única solução do sistema
\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 v_3 = 0
é \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0. Aqui 0 é o vetor nulo do espaço: no P_1 o vetor nulo é o polinômio nulo (o polinômio que tem todos coeficientes zero). Se existir uma solução com algum \alpha_i\neq0, então são linearmente dependentes. Vou aplicar exatamente isso: montar a combinação linear igual ao polinômio nulo e ver se aparecem soluções não-triviais.

Passo 3

Introduzo coeficientes escalares \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 (são números reais) e escrevo a combinação linear igual ao polinômio nulo:
\alpha_1(1+x)+\alpha_2(1-x)+\alpha_3 x = 0.
Aqui 0 é o polinômio nulo, isto é, o polinômio cujo coeficiente constante é 0 e cujo coeficiente de x é 0.

Passo 4

Faço a expansão e agrupo os termos por potências de x (constante e termo em x), porque dois polinômios são iguais se e só se seus coeficientes correspondentes são iguais:
\alpha_1(1+x)+\alpha_2(1-x)+\alpha_3 x = (\alpha_1+\alpha_2) + (\alpha_1-\alpha_2+\alpha_3)\,x.

Passo 5

Igualo os coeficientes ao polinômio nulo. O polinômio nulo tem coeficiente constante 0 e coeficiente de x igual a 0. Assim obtemos o sistema de equações lineares:
\begin{cases} \alpha_1+\alpha_2=0,\\[4pt] \alpha_1-\alpha_2+\alpha_3=0. \end{cases}]

Passo 6

Resolvo o sistema passo a passo. Da primeira equação obtemos
\alpha_2 = -\alpha_1.
Substituo na segunda equação:
\alpha_1 - (-\alpha_1) + \alpha_3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2\alpha_1 + \alpha_3 = 0.
Isolando \alpha_3:
\alpha_3 = -2\alpha_1.

Passo 7

Portanto as soluções do sistema têm a forma
(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) = \big(\alpha_1,\; -\alpha_1,\; -2\alpha_1\big),
isto é, um parâmetro livre \alpha_1. Se escolhemos \alpha_1=0 recuperamos a solução trivial (0,0,0). Mas existe qualquer escolha de \alpha_1\neq0 que gera uma solução não-trivial. Por exemplo, tomando \alpha_1=1 obtemos
(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=(1,-1,-2).

Passo 8

Exibindo a combinação linear não-trivial que anula os polinômios (para deixar bem concreto):
1\cdot(1+x) + (-1)\cdot(1-x) + (-2)\cdot x = 0.
Posso checar rapidamente: o lado esquerdo é
(1+x)-(1-x)-2x = 1+x-1+x-2x = 0.
Como existe essa relação linear não-trivial, concluímos que os três polinômios são linearmente dependentes.

Passo 9

Comentário extra (útil para prova): uma observação rápida e poderosa é que \dim(P_1)=2 (um polinômio de grau \le1 é determinado por dois coeficientes). Qualquer conjunto com mais de 2 vetores em um espaço de dimensão 2 é necessariamente linearmente dependente. Assim, a dependência era esperada já pelo simples conta de dimensões.

Resposta

São linearmente dependentes.

Exercícios relacionados