Verifique quais matrizes a seguir não estão na forma escada.
Justifique.
B A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar se a(s) matriz(es) fornecida(s) está(ão) na forma escada e justificar.
Informação dada: a matriz A é
Definição prática de “forma escada” (vou explicar passo a passo como identificar):\n
Cada linha com todos os elementos nulos (se houver) deve ficar abaixo das linhas não nulas.\n
Em cada linha não nula, chamamos de “entrada principal” (ou “pivot”) o primeiro elemento não nulo da esquerda para a direita nessa linha. Por exemplo, na linha [0\;2\;3] a entrada principal está na coluna 2.\n
A regra crucial: as posições (colunas) dessas entradas principais, linha a linha de cima para baixo, devem deslocar-se estritamente para a direita. Ou seja, se as entradas principais das linhas 1,2,3,\dots estão nas colunas c_1,c_2,c_3,\dots, precisa ocorrer c_1 < c_2 < c_3 < \cdots.\n
Observação: não é necessário que os pivôs sejam 1 para ser “forma escada” (isso é exigido só para a forma reduzida), mas a ordem dos pivôs (as colunas) é obrigatória.
Passo 3
Identificar as linhas e suas entradas principais na matriz A.\n
Escrevendo as linhas explicitamente:\n \text{linha }1 = \bigl(1\;0\;0\bigr)\n \text{linha }2 = \bigl(0\;0\;1\bigr)\n \text{linha }3 = \bigl(0\;1\;0\bigr)\n
Agora encontrando o primeiro elemento não nulo de cada linha (a entrada principal):\n
Para a linha 1, o primeiro não nulo é 1 na coluna 1. Logo o pivô da linha 1 está na coluna 1.\n
Para a linha 2, o primeiro não nulo é 1 na coluna 3. Logo o pivô da linha 2 está na coluna 3.\n
Para a linha 3, o primeiro não nulo é 1 na coluna 2. Logo o pivô da linha 3 está na coluna 2.
Passo 4
Verificar a condição de deslocamento estrito para a direita dos pivôs.\n
As colunas das entradas principais, de cima para baixo, são
c_1=1,\quad c_2=3,\quad c_3=2.
Para estar em forma escada precisamos ter c_1<c_2<c_3. Aqui temos 1<3 (ok) mas não temos 3<2 (falso), porque c_3=2 não é maior que c_2=3. Portanto a sequência de pivôs não é estritamente crescente, violando a condição necessária para forma escada.
Passo 5
Comentário final para fixar: mesmo que as entradas abaixo de alguns pivôs sejam zeros (por exemplo, abaixo do pivô na coluna 1 há zeros), a ordem das posições dos pivôs é obrigatória. Como essa ordem falha (1,3,2 não é crescente), a matriz não está na forma escada. Se você quisesse, poderia permutar a linha 2 com a linha 3 para obter pivôs em colunas 1,2,3 e aí sim ter forma escada.