Verifique quais matrizes a seguir não estão na forma escada.
Justifique.
1 A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar se a(s) matriz(es) dada(s) estão ou não na forma escada e justificar. A matriz fornecida é
Definição prática e intuitiva de “forma escada” (row echelon form). Uma matriz está em forma escada quando todas as três condições seguintes são satisfeitas simultaneamente:
\begin{array}{ll} \text{(C1)} & \text{Todas as linhas nulas (todas entradas zero) aparecem abaixo de todas as linhas não nulas.} \\[4pt] \text{(C2)} & \text{O primeiro elemento não nulo (pivot) de cada linha não nula está localizado em uma coluna} \\\ & \quad\text{mais à direita do que o pivot da linha imediatamente acima.} \\[4pt] \text{(C3)} & \text{Todos os elementos abaixo de um pivot são zeros (ou seja, na coluna do pivot, abaixo dele só zeros).} \end{array}ãããáàãó
Explicando com carinho: o pivot de uma linha é o primeiro número não zero dessa linha, contando da esquerda para a direita. A forma escada exige que as linhas nulas fiquem por baixo (sem “buracos” no meio), que os pivôs desloquem-se para a direita conforme descemos as linhas, e que abaixo de cada pivô não apareçam valores não nulos.]
A linha 1 é não nula. O pivot da linha 1 é o primeiro elemento não zero, que fica na coluna 1 (valor 1).
A linha 2 é a linha nula (todas entradas zero).
A linha 3 é não nula. O pivot da linha 3 é o primeiro elemento não zero, que fica na coluna 2 (valor 1).
Passo 4
Verificação das condições da forma escada para A:
Verificação de (C1): a linha nula está na posição intermédia (linha 2), mas existe uma linha não nula abaixo dela (linha 3). Isso viola a condição (C1), que exige que linhas nulas apareçam somente por baixo de todas as linhas não nulas. Então já temos uma violação.
Verificação de (C2): o pivot da linha 1 está na coluna 1 e o pivot da linha 3 está na coluna 2; portanto o pivot da linha 3 está à direita do pivot da linha 1, então (C2) é satisfeita.
Verificação de (C3): abaixo do pivot da linha 1 (coluna 1) a entrada na linha 3, coluna 1 é 0, então não há problema para (C3) neste caso.
Conclusão parcial: apesar de (C2) e (C3) estarem satisfeitas, a condição (C1) falha — há uma linha nula no meio da matriz. Por isso A NÃO está na forma escada.
Passo 5
Dica prática (útil na prova): quando a única falha é que há linhas nulas no meio, basta trocar (permutar) linhas para levar as linhas nulas para o fim sem alterar a forma escalonada essencial. Se trocarmos a linha 2 com a linha 3, obtemos
Agora em A' as linhas não nulas estão acima da linha nula, o pivot da segunda linha está à direita do pivot da primeira, e abaixo de cada pivot há apenas zeros; logo A' está em forma escada. Isso mostra também de forma construtiva por que A falhava: estava “quase” em escada, faltava apenas ordenar as linhas.]