Verifique quais matrizes a seguir não estão na forma escada.
Justifique. A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos quais matrizes da lista não estão na forma escada e que justifiquemos. A matriz dada é
Informações relevantes: A é uma matriz 3\times3 cujas linhas são, em ordem, (1,0,0), (0,2,0) e (0,0,0). A tarefa é decidir se A está ou não na forma escada e explicar o porquê.]
Passo 2
Primeiro vamos lembrar com calma e devagar o que significa “forma escada” (row-echelon form). Vou explicar em palavras simples e com exemplos pequenos para você entender e poder aplicar na prova.
Definição (condições que devem ocorrer simultaneamente para uma matriz estar em forma escada):
Todas as linhas nulas (linhas com todos os elementos zero) aparecem abaixo das linhas não nulas.
Em cada linha não nula existe um primeiro elemento diferente de zero — chamamos esse elemento de pivô ou entrada principal da linha — e, ao descer pelas linhas, a posição desses pivôs deve mover-se estritamente para a direita. Ou seja, se o pivô da primeira linha está na coluna j_1 e o da segunda linha não nula está na coluna j_2, então j_2>j_1.
Em cada coluna que contém um pivô, os elementos abaixo desse pivô são todos zeros (isso garante a “escada” descendo para a direita).
Observações pedagógicas:
Não é necessário que o pivô seja 1; exigir pivôs iguais a 1 e que acima de cada pivô também haja zeros define a forma reduzida por linhas (reduced row-echelon form). Aqui só precisamos da forma escada, então pivôs podem ser quaisquer números não nulos.
Exemplo rápido: \begin{pmatrix}1&2&0\\\ 0&3&4\\\ 0&0&0\end{pmatrix} está em forma escada: pivôs em colunas 1 e 2, linha nula embaixo — tudo certo.
Exemplo de não escada: \begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix}. A primeira linha tem pivô em coluna 2 e a segunda linha tem pivô em coluna 1, e 1 não está à direita de 2, então falha na condição 2.
Passo 3
Apliquei agora a definição à matriz A. Primeiro identifiquemos as linhas e possíveis pivôs, linha por linha:
Linha 1 de A é (1,0,0). O primeiro elemento não nulo nessa linha é o 1 na coluna 1. Logo o pivô da linha 1 está na coluna 1.
Linha 2 de A é (0,2,0). O primeiro elemento não nulo nessa linha é o 2 na coluna 2. Logo o pivô da linha 2 está na coluna 2.
Linha 3 de A é (0,0,0). Esta é uma linha nula, logo não tem pivô.
Passo 4
Verificamos a condição 1 (linhas nulas abaixo das não nulas):
Em A há exatamente uma linha nula (a terceira) e ela está embaixo das duas linhas não nulas. Portanto a condição 1 está satisfeita.
Passo 5
Verificamos a condição 2 (as posições dos pivôs devem mover-se para a direita conforme descemos):
O pivô da linha 1 está na coluna 1.
O pivô da linha 2 está na coluna 2.
Como 2>1, a posição do pivô da linha 2 está à direita da posição do pivô da linha 1. Não há uma linha não nula abaixo da linha 2 que viole isso (a linha 3 é nula). Portanto a condição 2 está satisfeita.
Passo 6
Verificamos a condição 3 (zeros abaixo de cada pivô nas suas colunas):
Coluna do pivô da linha 1 é a coluna 1. Os elementos abaixo desse pivô são A_{21}=0 e A_{31}=0; ambos são zeros.
Coluna do pivô da linha 2 é a coluna 2. O elemento abaixo desse pivô é A_{32}=0; é zero.
Portanto todos os elementos abaixo de cada pivô são zeros — a condição 3 está satisfeita.
Passo 7
Como as três condições da definição de forma escada estão satisfeitas para A (linhas nulas embaixo, pivôs deslocando-se para a direita, zeros abaixo dos pivôs), concluímos que A está na forma escada. Força aí — você já sabe como checar isso rapidamente na prova: identifique pivôs linha a linha e verifique as três condições.