Verifique, por meio de algum dos testes de comparação, se cada série dada a seguir é convergente ou divergente.
\sum^{\infty} n \operatorname{sen}^{2} n

Passo 1

O enunciado pede para verificar, por algum teste de comparação, se a série
\sum_{n=1}^{\infty} n\operatorname{sen}^{2} n
é convergente ou divergente. Informações dadas:
  • O termo geral da série é a_n = n\operatorname{sen}^{2} n.
  • A soma é sobre n inteiro positivo, n=1,2,3,\dots.
    O que nos é pedido: decidir se a série converge ou diverge.

Passo 2

Lema básico (condição necessária para convergência): se a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge, então o termo geral satisfaz
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Explicação didática: se S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n tem limite finito quando N\to\infty, então as diferenças S_{N+1}-S_N=a_{N+1} tendem a 0. Intuitivamente, os termos da soma têm que ficar cada vez menores para que as somas parciais não oscilem ou cresçam sem limite. Portanto, um teste rápido: se mostrarmos que a_n não tende a zero, a série diverge.

Passo 3

Vamos estudar o comportamento de a_n = n\operatorname{sen}^{2} n quando n\to\infty. Observação simples: para todo n,
0 \le \operatorname{sen}^{2} n \le 1,
logo a_n\ge 0 e a_n \le n. Mas isso sozinho não decide a convergência. Precisamos saber se a_n tende a zero ou não.

Passo 4

Mostramos que existe uma subsequência (n_k) tal que \operatorname{sen} n_k \to 1, portanto \operatorname{sen}^{2} n_k \to 1. Justificativa (ideia e fato conhecido): o número \pi é irracional, então os resíduos n \pmod{2\pi} (ou equivalentemente os números \frac{n}{2\pi} mod 1) são densos no intervalo [0,1]. Em linguagem menos técnica: os ângulos n (em radianos) percorrem a circunferência de forma densa, de modo que, para qualquer ângulo desejado (por exemplo \pi/2, onde \operatorname{sen} é 1), existem inteiros n arbitrariamente próximos daquele ângulo módulo 2\pi. Portanto podemos escolher inteiros n_k tais que
n_k \equiv \frac{\pi}{2} + \varepsilon_k \pmod{2\pi} \quad\text{com}\quad \varepsilon_k\to 0,
o que implica \operatorname{sen} n_k = \operatorname{sen}\big(\tfrac{\pi}{2}+\varepsilon_k\big)\to 1. Assim \operatorname{sen}^{2} n_k\to 1.
Se quiseres uma versão rápida e intuitiva: existe uma infinidade de inteiros n para os quais \operatorname{sen} n fica, por exemplo, maior do que 1/2. Não é necessário provar aqui o teorema de densidade em todos os detalhes na prova da questão, basta saber (ou aceitar) que, por \pi ser irracional, os n podem aproximar \tfrac{\pi}{2}+2\pi m arbitrariamente bem.

Passo 5

A partir da subsequência acima, como \operatorname{sen}^{2} n_k \to 1, existe K tal que para k\ge K vale \operatorname{sen}^{2} n_k \ge \tfrac{1}{2}. Então, para esses k,
a_{n_k} = n_k \operatorname{sen}^{2} n_k \ge \frac{n_k}{2}.
Como n_k\to\infty, segue que a_{n_k}\to\infty. Em particular, a sequência dos termos a_n não tende a zero (na verdade é não apenas não nula, mas também não limitada). Pelo lema do Passo 2, se a série \sum a_n fosse convergente então necessariamente a_n\to 0, o que contradiz o que encontramos.

Passo 6

Conclusão: a série \sum_{n=1}^{\infty} n\operatorname{sen}^{2} n não pode convergir, pois seu termo geral não tende a zero. Portanto a série é divergente.

Resposta

Divergente.

Exercícios relacionados