Verifique, por meio de algum dos testes de comparação, se cada série dada a seguir é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para verificar, por algum teste de comparação, se a série
é convergente ou divergente. Informações dadas:
- O termo geral da série é
. - A soma é sobre
inteiro positivo, .
O que nos é pedido: decidir se a série converge ou diverge.
Passo 2
Lema básico (condição necessária para convergência): se a série
converge, então o termo geral satisfaz
Explicação didática: se
tem limite finito quando
, então as diferenças
tendem a
. Intuitivamente, os termos da soma têm que ficar cada vez menores para que as somas parciais não oscilem ou cresçam sem limite. Portanto, um teste rápido: se mostrarmos que
não tende a zero, a série diverge.
Passo 3
Vamos estudar o comportamento de
quando
. Observação simples: para todo
,
logo
e
. Mas isso sozinho não decide a convergência. Precisamos saber se
tende a zero ou não.
Passo 4
Mostramos que existe uma subsequência
tal que
, portanto
. Justificativa (ideia e fato conhecido): o número
é irracional, então os resíduos
(ou equivalentemente os números
mod
) são densos no intervalo
. Em linguagem menos técnica: os ângulos
(em radianos) percorrem a circunferência de forma densa, de modo que, para qualquer ângulo desejado (por exemplo
, onde
é
), existem inteiros
arbitrariamente próximos daquele ângulo módulo
. Portanto podemos escolher inteiros
tais que
o que implica
. Assim
.
Se quiseres uma versão rápida e intuitiva: existe uma infinidade de inteiros
para os quais
fica, por exemplo, maior do que
. Não é necessário provar aqui o teorema de densidade em todos os detalhes na prova da questão, basta saber (ou aceitar) que, por
ser irracional, os
podem aproximar
arbitrariamente bem.
Passo 5
A partir da subsequência acima, como
, existe
tal que para
vale
. Então, para esses
,
Como
, segue que
. Em particular, a sequência dos termos
não tende a zero (na verdade é não apenas não nula, mas também não limitada). Pelo lema do Passo 2, se a série
fosse convergente então necessariamente
, o que contradiz o que encontramos.
Passo 6
Conclusão: a série
não pode convergir, pois seu termo geral não tende a zero. Portanto a série é divergente.
Resposta
Divergente.