Estude a convergência/divergência, em termos do parâmetro
, de cada série dada a seguir.
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência ou divergência, em função do parâmetro
, da série
Informações dadas:
- A sequência de termos da série é
. - O parâmetro
é uma constante real, e queremos determinar para quais valores de a série converge ou diverge. - Não há mais dados no enunciado; devemos analisar o comportamento dos termos quando
.
Passo 2
Vamos lembrar um teste prático que costuma ser muito útil: o teste da comparação por limite (limit comparison test). Ele diz o seguinte (explicação passo a passo):
- Se
e para suficientemente grande e existir o limite
com
, então as séries
e
têm o mesmo caráter: ou ambas convergem ou ambas divergem.
- A ideia é que, se
é assintoticamente equivalente a (razão tendendo a um número finito e não nulo), o comportamento de soma é o mesmo.
Vou usar esse teste comparando com uma série de referência cuja convergência conhecemos bem: a série de potências do tipo
(às vezes chamada de série p), que converge se e somente se
. Vou mostrar como escolher
.
Passo 3
Para grandes
podemos aproximar
pelo termo dominante em
. Observe:
Logo
Substituindo em
temos
Assim, a parte principal que determina o decaimento de
é
multiplicado por um fator que tende a
quando
.
Passo 4
Definimos a série de comparação natural
Note que tanto
quanto
são positivos para
grande (quando necessário, suponha
). Calculamos a razão:
Agora tomamos o limite quando
:
Como esse limite é um número finito e diferente de zero (
), pelo teste da comparação por limite as séries
e
são equivalentes em termos de convergência: ou ambas convergem ou ambas divergem.
Passo 5
Portanto basta estudar a convergência da série
É conveniente escrever essa série numa forma padrão de série p: se definirmos
, então
e a série é
. Sabemos que a série
converge se e somente se
. Voltando em termos de
, isso significa:
Passo 6
Concluímos, portanto, que a série
converge se e somente se
. Pelo resultado do passo 4 (limite de razão igual a
), a mesma conclusão vale para a série original
.
Passo 7
É útil verificar individualmente o caso fronteira e alguns exemplos para fixar a intuição:
- Se
então
A série correspondente é comparável à série harmônica
, que diverge. Logo para
a série diverge.
- Se
então . Em particular, para temos e os termos nem tendem a zero, portanto a série diverge imediatamente (série com termos não nulos no limite). - Se
(exemplo convergente) então , e converge porque o expoente .
Passo 8
Resumo da ideia prática que podes usar na prova:
- Identifica o termo dominante em potências de
dentro de : dá . - O termo geral fica proporcional a
. - Comparar com
usando o teste da comparação por limite; obterás razão tendendo a . - Converter para a forma de série p e aplicar a condição de convergência
.
Resposta
Converge se
.
Diverge se .
Diverge se