Estude a convergência/divergência, em termos do parâmetro p, de cada série dada a seguir.
\sum_{n=1}^{\infty} n\left(1+n^{2}\right)^{p}.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência ou divergência, em função do parâmetro p, da série
\sum_{n=1}^{\infty} n\left(1+n^{2}\right)^{p}.
Informações dadas:
  • A sequência de termos da série é a_n = n\left(1+n^{2}\right)^{p}.
  • O parâmetro p é uma constante real, e queremos determinar para quais valores de p a série converge ou diverge.
  • Não há mais dados no enunciado; devemos analisar o comportamento dos termos quando n\to\infty.

Passo 2

Vamos lembrar um teste prático que costuma ser muito útil: o teste da comparação por limite (limit comparison test). Ele diz o seguinte (explicação passo a passo):
  • Se a_n>0 e b_n>0 para n suficientemente grande e existir o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n},
com 0<L<\infty, então as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo caráter: ou ambas convergem ou ambas divergem.
  • A ideia é que, se a_n é assintoticamente equivalente a b_n (razão tendendo a um número finito e não nulo), o comportamento de soma é o mesmo.
Vou usar esse teste comparando com uma série de referência cuja convergência conhecemos bem: a série de potências do tipo \sum n^{-s} (às vezes chamada de série p), que converge se e somente se s>1. Vou mostrar como escolher b_n.

Passo 3

Para grandes n podemos aproximar \left(1+n^{2}\right)^{p} pelo termo dominante em n. Observe:
1+n^{2}=n^{2}\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right).
Logo
\left(1+n^{2}\right)^{p}=n^{2p}\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{p}.
Substituindo em a_n temos
a_n = n\left(1+n^{2}\right)^{p} = n\cdot n^{2p}\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{p} = n^{2p+1}\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{p}.
Assim, a parte principal que determina o decaimento de a_n é n^{2p+1} multiplicado por um fator que tende a 1 quando n\to\infty.

Passo 4

Definimos a série de comparação natural
b_n = n^{2p+1}.
Note que tanto a_n quanto b_n são positivos para n grande (quando necessário, suponha n\ge1). Calculamos a razão:
\frac{a_n}{b_n} = \frac{n^{2p+1}\left(1+\dfrac{1}{n^{2}}\right)^{p}}{n^{2p+1}} = \left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{p}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{p} = 1^{\,p}=1.
Como esse limite é um número finito e diferente de zero ( L=1), pelo teste da comparação por limite as séries \sum a_n e \sum b_n são equivalentes em termos de convergência: ou ambas convergem ou ambas divergem.

Passo 5

Portanto basta estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} b_n = \sum_{n=1}^{\infty} n^{2p+1}.
É conveniente escrever essa série numa forma padrão de série p: se definirmos s = - (2p+1), então
n^{2p+1} = n^{-s},
e a série é \sum n^{-s}. Sabemos que a série \sum n^{-s} converge se e somente se s>1. Voltando em termos de p, isso significa:
-(2p+1) > 1 \quad\Longleftrightarrow\quad 2p+1 < -1 \quad\Longleftrightarrow\quad p < -1.

Passo 6

Concluímos, portanto, que a série \sum b_n converge se e somente se p< -1. Pelo resultado do passo 4 (limite de razão igual a 1), a mesma conclusão vale para a série original \sum a_n.

Passo 7

É útil verificar individualmente o caso fronteira e alguns exemplos para fixar a intuição:
  • Se p=-1 então
a_n = n\left(1+n^{2}\right)^{-1} = \frac{n}{1+n^{2}} \sim \frac{n}{n^{2}}=\frac{1}{n}.
A série correspondente é comparável à série harmônica \sum \dfrac{1}{n}, que diverge. Logo para p=-1 a série diverge.
  • Se p>-1 então 2p+1>-1. Em particular, para p\ge -\tfrac{1}{2} temos 2p+1\ge0 e os termos a_n nem tendem a zero, portanto a série diverge imediatamente (série com termos não nulos no limite).
  • Se p=-2 (exemplo convergente) então a_n = n(1+n^{2})^{-2}\sim n\cdot n^{-4}=n^{-3}, e \sum n^{-3} converge porque o expoente 3>1.

Passo 8

Resumo da ideia prática que podes usar na prova:
  • Identifica o termo dominante em potências de n dentro de (1+n^{2})^{p}: dá n^{2p}.
  • O termo geral fica proporcional a n^{2p+1}.
  • Comparar com \sum n^{2p+1} usando o teste da comparação por limite; obterás razão tendendo a 1.
  • Converter para a forma de série p e aplicar a condição de convergência s>1.

Resposta

Converge se p< -1.
Diverge se p\ge -1.

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