Verifique, por meio do teste da integral, se cada série dada a seguir é convergente ou divergente.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar, usando o teste da integral, se a série
é convergente ou divergente. Informações dadas e alvo claro:
- A série tem termo geral
. - A verificação deve ser feita pelo “teste da integral” (ou teste integral).
- Objetivo final: decidir se a série converge ou diverge.
Passo 2
Apresentando o teste da integral (explicado de forma simples):
- Seja
uma função tal que , contínua e decrescente para . - Se definirmos
, então a série converge se, e somente se, a integral imprópria
converge (isto é, tem valor finito). Se a integral diverge (vai para infinito), a série também diverge.
Explicação rápida do porquê (intuição): parcelas discretas comportam-se como a “área” sob o gráfico de
entre
e
; comparar soma e integral permite transferir a convergência de uma para a outra quando
satisfaz as hipóteses.
Explicação rápida do porquê (intuição): parcelas discretas
Passo 3
Escolhemos a função associada
que satisfaz
para todo inteiro
.
Agora verificamos as hipóteses do teste:
Agora verificamos as hipóteses do teste:
- Positividade: para
temos e , então . - Continuidade:
nunca é zero, logo é contínua em .
Não resolvemos ainda a integral — antes precisamos checar seé decrescente.
Passo 4
Mostramos que
é decrescente em
calculando a derivada e analisando o seu sinal:
Calculemos :
Calculemos
Simplificando o numerador:
Logo
Para
temos
, então
. O denominador
é sempre positivo. Portanto
para todo
, isto é,
é decrescente em
.
Assim, todas as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas.
Assim, todas as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas.
Passo 5
Agora avaliamos a integral imprópria
Fazemos a substituição conveniente
. Então
, isto é,
. Quando
temos
; quando
temos
. A integral transforma-se em
Sabemos que
Portanto, a integral imprópria vale
Sabendo que
e
, obtemos
O valor é finito, logo a integral converge.
Passo 6
Conclusão pelo teste da integral: como
é positiva, contínua e decrescente em
e a integral
converge (vale
), então a série
converge.
Resposta
A série
é convergente.