Verifique, por meio do teste da integral, se cada série dada a seguir é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{4}+1}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar, usando o teste da integral, se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{4}+1}
é convergente ou divergente. Informações dadas e alvo claro:
  • A série tem termo geral a_n=\dfrac{n}{n^{4}+1}.
  • A verificação deve ser feita pelo “teste da integral” (ou teste integral).
  • Objetivo final: decidir se a série converge ou diverge.

Passo 2

Apresentando o teste da integral (explicado de forma simples):
  • Seja f(x) uma função tal que f(x)>0, contínua e decrescente para x\geq 1.
  • Se definirmos a_n=f(n), então a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge se, e somente se, a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx
converge (isto é, tem valor finito). Se a integral diverge (vai para infinito), a série também diverge.
Explicação rápida do porquê (intuição): parcelas discretas a_n comportam-se como a “área” sob o gráfico de f(x) entre n e n+1; comparar soma e integral permite transferir a convergência de uma para a outra quando f satisfaz as hipóteses.

Passo 3

Escolhemos a função associada
f(x)=\frac{x}{x^{4}+1},
que satisfaz f(n)=a_n para todo inteiro n\ge 1.
Agora verificamos as hipóteses do teste:
  • Positividade: para x\ge 1 temos x>0 e x^{4}+1>0, então f(x)>0.
  • Continuidade: x^{4}+1 nunca é zero, logo f é contínua em [1,\infty).
    Não resolvemos ainda a integral — antes precisamos checar se f é decrescente.

Passo 4

Mostramos que f é decrescente em [1,\infty) calculando a derivada e analisando o seu sinal:
Calculemos f'(x):
f'(x)=\frac{(x^{4}+1)\cdot 1 - x\cdot 4x^{3}}{(x^{4}+1)^{2}}.
Simplificando o numerador:
(x^{4}+1) - 4x^{4} = 1 - 3x^{4}.
Logo
f'(x)=\frac{1-3x^{4}}{(x^{4}+1)^{2}}.
Para x\ge 1 temos x^{4}\ge 1, então 1-3x^{4}\le 1-3\cdot 1=-2<0. O denominador (x^{4}+1)^{2} é sempre positivo. Portanto f'(x)<0 para todo x\ge 1, isto é, f é decrescente em [1,\infty).
Assim, todas as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas.

Passo 5

Agora avaliamos a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{x}{x^{4}+1}\,dx.
Fazemos a substituição conveniente u=x^{2}. Então du=2x\,dx, isto é, x\,dx=\dfrac{du}{2}. Quando x=1 temos u=1; quando x\to\infty temos u\to\infty. A integral transforma-se em
\int_{1}^{\infty} \frac{x}{x^{4}+1}\,dx = \frac{1}{2}\int_{1}^{\infty} \frac{1}{u^{2}+1}\,du.
Sabemos que
\int \frac{1}{u^{2}+1}\,du = \arctan(u)+C.
Portanto, a integral imprópria vale
\frac{1}{2}\lim_{T\to\infty}\bigl[\arctan(u)\bigr]_{u=1}^{u=T} = \frac{1}{2}\lim_{T\to\infty}\bigl(\arctan(T)-\arctan(1)\bigr).
Sabendo que \lim_{T\to\infty}\arctan(T)=\dfrac{\pi}{2} e \arctan(1)=\dfrac{\pi}{4}, obtemos
\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{8}.
O valor é finito, logo a integral converge.

Passo 6

Conclusão pelo teste da integral: como f(x)=\dfrac{x}{x^{4}+1} é positiva, contínua e decrescente em [1,\infty) e a integral
\int_{1}^{\infty} \frac{x}{x^{4}+1}\,dx
converge (vale \dfrac{\pi}{8}), então a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{4}+1}
converge.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n}{n^{4}+1} é convergente.

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