Verifique, por meio de algum dos testes de comparação, se cada série dada a seguir é convergente ou divergente. \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n \operatorname{sen}^{2} n}{n^{2}+1}.
A ideia será mostrar que a primeira série à direita diverge, enquanto a segunda converge (por um teste que vamos enunciar), o que implica que a diferença diverge.
Passo 4
Estudo da primeira série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+1}.
Mostramos que seus termos têm ordem 1/n e que a série diverge por comparação com a harmônica. Observe que, para n\ge 1,
Como \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} diverge (série harmônica), pelo teste da comparação direta a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+1}
também diverge. Portanto a primeira soma do Passo 3 diverge.
Passo 5
Estudo da segunda série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\cos(2n)}{n^{2}+1}.
Usamos o Teste de Dirichlet: se (A_k) é sequência de somas parciais de (u_n) com (A_k) limitada (ou seja, as somas parciais de u_n são uniformemente limitadas) e v_n é uma sequência monotona que tende a 0, então \sum u_n v_n converge.
Aqui escolhemos
u_n = \cos(2n),\qquad v_n = \frac{n}{n^{2}+1}.
Verificações:
As somas parciais de u_n são limitadas. De fato, existe a fórmula fechada (identidade de soma de cossenos)
Tomando \theta=2 (em radianos), obtemos que \sum_{n=1}^{k}\cos(2n) é limitada por uma constante dependente de \sin(1), portanto as somas parciais de \cos(2n) são limitadas.
A sequência v_n=\dfrac{n}{n^{2}+1} tende a 0, pois
Mostramos que a primeira soma à direita diverge (Passo 4) e a segunda converge (Passo 5). A diferença de uma série divergente com uma série convergente é divergente. Portanto a série dada diverge.
Vai dar tudo certo na prova — respira fundo: a série diverge porque a parte média (proporcional a 1/(2n)) não é somável.