Verifique, por meio de algum dos testes de comparação, se cada série dada a seguir é convergente ou divergente.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n \operatorname{sen}^{2} n}{n^{2}+1}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n \,\operatorname{sen}^{2} n}{n^{2}+1}
é convergente ou divergente. Informações relevantes dadas pelo enunciado que vamos usar:
  • Para todo n vale 0 \le \operatorname{sen}^{2} n \le 1.
  • O termo para n=0 é 0, então podemos analisar a série a partir de n=1 sem alterar a convergência.
  • Queremos aplicar um teste de comparação ou uma decomposição conveniente para decidir convergência/divergência.

Passo 2

Vamos usar a identidade trigonométrica clássica
\operatorname{sen}^{2} x = \frac{1-\cos(2x)}{2}.
Aplicando-a em \operatorname{sen}^{2} n obtemos, para cada n,
\frac{n \,\operatorname{sen}^{2} n}{n^{2}+1} = \frac{n}{n^{2}+1}\cdot\frac{1-\cos(2n)}{2} = \frac{1}{2}\,\frac{n}{n^{2}+1} \;-\; \frac{1}{2}\,\frac{n\cos(2n)}{n^{2}+1}.

Passo 3

Pelo item anterior, a série original se escreve como diferença de duas séries:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n \,\operatorname{sen}^{2} n}{n^{2}+1} = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{2}+1} \;-\; \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n\cos(2n)}{n^{2}+1}.
A ideia será mostrar que a primeira série à direita diverge, enquanto a segunda converge (por um teste que vamos enunciar), o que implica que a diferença diverge.

Passo 4

Estudo da primeira série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+1}.
Mostramos que seus termos têm ordem 1/n e que a série diverge por comparação com a harmônica. Observe que, para n\ge 1,
n^{2}+1 \le 2n^{2} \quad\Rightarrow\quad \frac{n}{n^{2}+1} \ge \frac{n}{2n^{2}}=\frac{1}{2n}.
Como \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} diverge (série harmônica), pelo teste da comparação direta a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+1}
também diverge. Portanto a primeira soma do Passo 3 diverge.

Passo 5

Estudo da segunda série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\cos(2n)}{n^{2}+1}.
Usamos o Teste de Dirichlet: se (A_k) é sequência de somas parciais de (u_n) com (A_k) limitada (ou seja, as somas parciais de u_n são uniformemente limitadas) e v_n é uma sequência monotona que tende a 0, então \sum u_n v_n converge.
Aqui escolhemos
u_n = \cos(2n),\qquad v_n = \frac{n}{n^{2}+1}.
Verificações:
  • As somas parciais de u_n são limitadas. De fato, existe a fórmula fechada (identidade de soma de cossenos)
\sum_{n=1}^{k}\cos(n\theta)=\frac{\sin\big(\tfrac{k\theta}{2}\big)\cos\big(\tfrac{(k+1)\theta}{2}\big)}{\sin\big(\tfrac{\theta}{2}\big)}.
Tomando \theta=2 (em radianos), obtemos que \sum_{n=1}^{k}\cos(2n) é limitada por uma constante dependente de \sin(1), portanto as somas parciais de \cos(2n) são limitadas.
  • A sequência v_n=\dfrac{n}{n^{2}+1} tende a 0, pois
\frac{n}{n^{2}+1}=\frac{1}{n+\frac{1}{n}}\xrightarrow[n\to\infty]{}0.
Além disso, v_n é monotona decrescente para n\ge 1: considere f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1} com derivada
f'(x)=\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}},
que é \le 0 para todo x\ge 1; logo v_n=f(n) é decrescente a partir de n=1.
Pelo Teste de Dirichlet, a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\cos(2n)}{n^{2}+1}
converge.

Passo 6

Conclusão final. Relembrando o Passo 3:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n \,\operatorname{sen}^{2} n}{n^{2}+1} = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{2}+1} \;-\; \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n\cos(2n)}{n^{2}+1}.
Mostramos que a primeira soma à direita diverge (Passo 4) e a segunda converge (Passo 5). A diferença de uma série divergente com uma série convergente é divergente. Portanto a série dada diverge.
Vai dar tudo certo na prova — respira fundo: a série diverge porque a parte média (proporcional a 1/(2n)) não é somável.

Resposta

A série diverge.

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