Verifique, por meio do teste da integral, se cada série dada a seguir é convergente ou divergente.
.
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos, por meio do teste da integral, se a série
é convergente ou divergente. Informações dadas: a soma é sobre
e o termo geral é
. A tarefa é aplicar o teste da integral (ou seja, comparar a série com a integral imprópria correspondente) e concluir sobre convergência/divergência.
Passo 2
Primeiro simplificamos o termo geral da série para ficar mais claro o que vamos integrar:
Então o termo geral é
. Para aplicar o teste da integral, associamos a função contínua em variável real
de modo que
para todo
.
Agora vou explicar o enunciado do teste da integral (em linguagem simples): se
é positiva, contínua e decrescente para
e
, então a série
e a integral imprópria
têm o mesmo comportamento — isto é, ou ambas convergem ou ambas divergem. Por isso precisamos verificar essas três condições para
.
Passo 3
Verificação das condições do teste da integral para
.
- Positividade: para
temos , então . - Continuidade:
é dada por uma função racional sem singularidade em , logo é contínua em . - Monotonicidade (decrescente): calculemos a derivada para ver se
é decrescente:
Como para
temos
, segue que
em
, então
é decrescente.
Como as três condições (positiva, contínua e decrescente) estão satisfeitas, podemos aplicar o teste da integral.
Passo 4
Calculemos a integral imprópria correspondente:
Agora faço a antiderivada de
. Uma primitiva é
, pois
. Portanto
Multiplicando pelo fator
obtemos
A integral imprópria é finita (igual a
), logo a integral converge.
Passo 5
Conclusão pelo teste da integral: como a integral
converge e
satisfaz as condições do teste (positiva, contínua e decrescente), a série
também converge.
Observação adicional (útil para a prova): esta série é um múltiplo da série p com
. Sabendo que
, teríamos a soma exata
mas para responder ao enunciado bastou usar o teste da integral.
Resposta
Convergente.