Verifique, por meio do teste da integral, se cada série dada a seguir é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+n^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos, por meio do teste da integral, se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+n^{2}}
é convergente ou divergente. Informações dadas: a soma é sobre n=1,2,3,\dots e o termo geral é \frac{1}{n^{2}+n^{2}}. A tarefa é aplicar o teste da integral (ou seja, comparar a série com a integral imprópria correspondente) e concluir sobre convergência/divergência.

Passo 2

Primeiro simplificamos o termo geral da série para ficar mais claro o que vamos integrar:
\frac{1}{n^{2}+n^{2}}=\frac{1}{2n^{2}}.
Então o termo geral é a_n=\frac{1}{2n^{2}}. Para aplicar o teste da integral, associamos a função contínua em variável real
f(x)=\frac{1}{2x^{2}},\qquad x\ge 1,
de modo que f(n)=a_n para todo n\in\mathbb{N}.
Agora vou explicar o enunciado do teste da integral (em linguagem simples): se f(x) é positiva, contínua e decrescente para x\ge 1 e a_n=f(n), então a série \sum a_n e a integral imprópria \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx têm o mesmo comportamento — isto é, ou ambas convergem ou ambas divergem. Por isso precisamos verificar essas três condições para f.

Passo 3

Verificação das condições do teste da integral para f(x)=\frac{1}{2x^{2}}.
  • Positividade: para x\ge 1 temos x^{2}>0, então f(x)>0.
  • Continuidade: f(x) é dada por uma função racional sem singularidade em x\ge1, logo é contínua em [1,\infty).
  • Monotonicidade (decrescente): calculemos a derivada para ver se f é decrescente:
f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^{-2}\right)=\frac{1}{2}\cdot(-2)x^{-3}=-x^{-3}=-\frac{1}{x^{3}}.
Como para x>0 temos -\frac{1}{x^{3}}<0, segue que f'(x)<0 em [1,\infty), então f é decrescente.
Como as três condições (positiva, contínua e decrescente) estão satisfeitas, podemos aplicar o teste da integral.

Passo 4

Calculemos a integral imprópria correspondente:
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx=\int_{1}^{\infty}\frac{1}{2x^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\int_{1}^{\infty}x^{-2}\,dx.
Agora faço a antiderivada de x^{-2}. Uma primitiva é -x^{-1}, pois \frac{d}{dx}(-x^{-1})=x^{-2}. Portanto
\int_{1}^{\infty}x^{-2}\,dx=\lim_{R\to\infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{R}=\lim_{R\to\infty}\left(-\frac{1}{R}+1\right)=1.
Multiplicando pelo fator \frac{1}{2} obtemos
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{2x^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}.
A integral imprópria é finita (igual a \tfrac{1}{2}), logo a integral converge.

Passo 5

Conclusão pelo teste da integral: como a integral \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx converge e f satisfaz as condições do teste (positiva, contínua e decrescente), a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+n^{2}}
também converge.
Observação adicional (útil para a prova): esta série é um múltiplo da série p com p=2. Sabendo que \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}, teríamos a soma exata
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n^{2}}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi^{2}}{6}=\frac{\pi^{2}}{12},
mas para responder ao enunciado bastou usar o teste da integral.

Resposta

Convergente.

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