Verifique, por meio de algum dos testes de comparação, se cada série dada a seguir é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{arccg} n}{n^{1,2}}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar, por meio de algum teste de comparação, se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\operatorname{arccg} n}{n^{1,2}}
é convergente ou divergente. As informações dadas são: o termo geral é \frac{\operatorname{arccg} n}{n^{1,2}} para n=1,2,\dots.
Observação importante: o símbolo \operatorname{arccg} não é padrão; assumirei que o enunciado quis dizer \operatorname{arctg} (a função arco-tangente), pois \operatorname{arccos} ou \operatorname{arcsin} seriam indefinidas para n>1. Se isso estiver correto, a série é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\operatorname{arctg} n}{n^{1,2}}.
Não faço mais suposições além dessa interpretação.

Passo 2

Qual método vamos usar e por quê (explicação didática): a ideia é comparar a série com uma série p conhecida. Vou usar o Teste da Comparação por Limite (limit comparison test) porque é simples e direto quando um dos termos tende a uma constante não nula. Vou lembrar aqui, com calma, o que é cada coisa.
Definição do Teste da Comparação por Limite: sejam (a_n) e (b_n) sequências com a_n\ge0 e b_n\ge0 para todo n. Se existir o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
e 0<L<\infty, então as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ambas convergem ou ambas divergem. Intuição rápida: quando o quociente tende a um número positivo e finito, os termos são “da mesma ordem” para grandes n.
Também preciso saber sobre séries p (p-series): a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Esse é um fato padrão (pode-se ver por teste da integral ou comparação com integrais). Aqui p será 1,2 (uso vírgula decimal conforme o enunciado).

Passo 3

Definição das sequências que vou comparar e verificação de sinal: tomo
a_n=\frac{\operatorname{arctg} n}{n^{1,2}},\qquad b_n=\frac{1}{n^{1,2}}.
Para todo n\ge1 temos \operatorname{arctg} n>0 e n^{1,2}>0, logo a_n\ge0 e b_n\ge0, condição necessária para usar o teste da comparação por limite está satisfeita.

Passo 4

Calcular o limite do quociente a_n/b_n. Escrevendo o quociente:
\frac{a_n}{b_n}=\frac{\frac{\operatorname{arctg} n}{n^{1,2}}}{\frac{1}{n^{1,2}}}=\operatorname{arctg} n.
Agora observamos o limite quando n\to\infty. Conhecimento sobre \operatorname{arctg}: a função \operatorname{arctg} x (arco-tangente) é crescente e tem limite horizontal quando x\to\infty, dado por
\lim_{x\to\infty}\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{2}.
Portanto,
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\operatorname{arctg} n=\frac{\pi}{2}.
Note que \frac{\pi}{2} é um número real positivo e finito, logo 0<L<\infty, condição perfeita para aplicar o Teste da Comparação por Limite.

Passo 5

Aplicar o teste e concluir: como o limite L=\frac{\pi}{2} existe e pertence a (0,\infty), as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento. Mas \sum b_n=\sum \frac{1}{n^{1,2}} é uma série p com p=1,2>1, portanto ela converge (fato conhecido das p-séries). Logo \sum a_n=\sum \frac{\operatorname{arctg} n}{n^{1,2}} também converge.
Observação alternativa (forma ainda mais direta): como \operatorname{arctg} n\le\frac{\pi}{2} para todo n, temos para todo n
0\le\frac{\operatorname{arctg} n}{n^{1,2}}\le\frac{\pi/2}{n^{1,2}},
e como \sum \frac{\pi/2}{n^{1,2}}=(\pi/2)\sum \frac{1}{n^{1,2}} converge, a comparação direta também dá convergência. Ambos os caminhos confirmam a mesma conclusão.

Resposta

Convergente.

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