Verifique, por meio de algum dos testes de comparação, se cada série dada a seguir é convergente ou divergente.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar, por meio de algum teste de comparação, se a série
é convergente ou divergente. As informações dadas são: o termo geral é
para
.
Observação importante: o símbolo não é padrão; assumirei que o enunciado quis dizer
(a função arco-tangente), pois
ou
seriam indefinidas para
. Se isso estiver correto, a série é
Observação importante: o símbolo
Não faço mais suposições além dessa interpretação.
Passo 2
Qual método vamos usar e por quê (explicação didática): a ideia é comparar a série com uma série p conhecida. Vou usar o Teste da Comparação por Limite (limit comparison test) porque é simples e direto quando um dos termos tende a uma constante não nula. Vou lembrar aqui, com calma, o que é cada coisa.
Definição do Teste da Comparação por Limite: sejam
e
sequências com
e
para todo
. Se existir o limite
e
, então as séries
e
têm o mesmo comportamento: ambas convergem ou ambas divergem. Intuição rápida: quando o quociente tende a um número positivo e finito, os termos são “da mesma ordem” para grandes
.
Também preciso saber sobre séries p (p-series): a série
converge se, e somente se,
. Esse é um fato padrão (pode-se ver por teste da integral ou comparação com integrais). Aqui
será
(uso vírgula decimal conforme o enunciado).
Passo 3
Definição das sequências que vou comparar e verificação de sinal: tomo
Para todo
temos
e
, logo
e
, condição necessária para usar o teste da comparação por limite está satisfeita.
Passo 4
Calcular o limite do quociente
. Escrevendo o quociente:
Agora observamos o limite quando
. Conhecimento sobre
: a função
(arco-tangente) é crescente e tem limite horizontal quando
, dado por
Portanto,
Note que
é um número real positivo e finito, logo
, condição perfeita para aplicar o Teste da Comparação por Limite.
Passo 5
Aplicar o teste e concluir: como o limite
existe e pertence a
, as séries
e
têm o mesmo comportamento. Mas
é uma série p com
, portanto ela converge (fato conhecido das p-séries). Logo
também converge.
Observação alternativa (forma ainda mais direta): como
para todo
, temos para todo
e como
converge, a comparação direta também dá convergência. Ambos os caminhos confirmam a mesma conclusão.
Resposta
Convergente.