Verifique a ordem e a linearidade de cada EDO abaixo:
\left(x-\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right)^{2}-\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\left(1+x \frac{d^{4} y}{d x^{4}}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a equação diferencial ordinária dada:
  • Determinar a ordem da EDO.
  • Determinar se a EDO é linear ou não.
A EDO fornecida é
\left(x-\frac{d^{3}y}{dx^{3}}\right)^{2}-\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\left(1+x\frac{d^{4}y}{dx^{4}}\right)^{3}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Aparecem as derivadas \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}, \dfrac{d^{3}y}{dx^{3}} e \dfrac{d^{4}y}{dx^{4}}.
  • Os termos envolvendo derivadas estão dentro de potências (quadrado e cubo) e multiplicados por x em alguns lugares.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma EDO (aula rápida): a ordem de uma EDO é o maior número de derivada de y que aparece na equação. Ou seja, se a maior derivada presente for a n-ésima derivada \dfrac{d^{n}y}{dx^{n}}, dizemos que a equação é de ordem n.
Aplicando a definição ao caso: na equação aparecem explicitamente \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}, \dfrac{d^{3}y}{dx^{3}} e \dfrac{d^{4}y}{dx^{4}}. A maior ordem que aparece é a derivada de quarta ordem \dfrac{d^{4}y}{dx^{4}}. Portanto a ordem da EDO é 4.

Passo 3

O que significa “linearidade” de uma EDO (aula rápida): uma EDO é linear se a função incógnita y e todas as suas derivadas \,y',y'',\dots,y^{(n)} aparecem apenas de forma linear — isto é, só aparecem somadas e multiplicadas por funções do independente (aqui x), sem produtos entre y e suas derivadas, sem potências (como (y')^2), sem funções não-lineares (como \sin(y), (y' )^3 etc.). Formalmente, uma EDO linear de ordem n pode ser escrita como
a_n(x)\,y^{(n)} + a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)\,y' + a_0(x)\,y = g(x),
onde os coeficientes a_k(x) e o termo fonte g(x) dependem só de x.
Um exemplo simples: \,y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x) é linear. Em contraste, (y')^2 + y = x é não linear por causa de (y')^2.

Passo 4

Análise direta da equação para ver se aparece alguma não linearidade nas derivadas. É útil expandir os termos elevados a potências para evidenciar isso.
Expansão do lado esquerdo:
\left(x-\frac{d^{3}y}{dx^{3}}\right)^{2}-\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = x^{2} - 2x\frac{d^{3}y}{dx^{3}} + \left(\frac{d^{3}y}{dx^{3}}\right)^{2} - \frac{d^{2}y}{dx^{2}}.
Expansão do lado direito:
\left(1+x\frac{d^{4}y}{dx^{4}}\right)^{3} = 1 + 3x\frac{d^{4}y}{dx^{4}} + 3x^{2}\left(\frac{d^{4}y}{dx^{4}}\right)^{2} + x^{3}\left(\frac{d^{4}y}{dx^{4}}\right)^{3}.
Observações a partir das expansões:
  • No lado esquerdo aparece o termo \left(\dfrac{d^{3}y}{dx^{3}}\right)^{2}, que é um quadrado da terceira derivada — isso é um termo não linear nas derivadas.
  • No lado direito aparecem \left(\dfrac{d^{4}y}{dx^{4}}\right)^{2} e \left(\dfrac{d^{4}y}{dx^{4}}\right)^{3} (multiplicados por potências de x), ou seja, potências da quarta derivada — também termos não lineares.
  • Também há produtos entre x e derivadas, mas isso por si só não quebra a linearidade; o que quebra é o fato de termos produtos ou potências entre derivadas (ou potências das derivadas por si mesmas).

Passo 5

Conclusão sobre linearidade: por causa da presença explícita de termos como \left(\dfrac{d^{3}y}{dx^{3}}\right)^{2}, \left(\dfrac{d^{4}y}{dx^{4}}\right)^{2} e \left(\dfrac{d^{4}y}{dx^{4}}\right)^{3}, a equação não pode ser colocada na forma linear \sum a_k(x) y^{(k)} = g(x). Portanto a EDO é não linear.

Resposta

Ordem: 4
Linearidade: não linear

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