Verifique a ordem e a linearidade de cada EDO abaixo:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a equação diferencial ordinária dada:
- Determinar a ordem da EDO.
- Determinar se a EDO é linear ou não.
A EDO fornecida é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Aparecem as derivadas
, e . - Os termos envolvendo derivadas estão dentro de potências (quadrado e cubo) e multiplicados por
em alguns lugares.
Passo 2
O que significa “ordem” de uma EDO (aula rápida): a ordem de uma EDO é o maior número de derivada de
que aparece na equação. Ou seja, se a maior derivada presente for a
-ésima derivada
, dizemos que a equação é de ordem
.
Aplicando a definição ao caso: na equação aparecem explicitamente
,
e
. A maior ordem que aparece é a derivada de quarta ordem
. Portanto a ordem da EDO é
.
Passo 3
O que significa “linearidade” de uma EDO (aula rápida): uma EDO é linear se a função incógnita
e todas as suas derivadas
aparecem apenas de forma linear — isto é, só aparecem somadas e multiplicadas por funções do independente (aqui
), sem produtos entre
e suas derivadas, sem potências (como
), sem funções não-lineares (como
,
etc.). Formalmente, uma EDO linear de ordem
pode ser escrita como
onde os coeficientes
e o termo fonte
dependem só de
.
Um exemplo simples:
é linear. Em contraste,
é não linear por causa de
.
Passo 4
Análise direta da equação para ver se aparece alguma não linearidade nas derivadas. É útil expandir os termos elevados a potências para evidenciar isso.
Expansão do lado esquerdo:
Expansão do lado direito:
Observações a partir das expansões:
- No lado esquerdo aparece o termo
, que é um quadrado da terceira derivada — isso é um termo não linear nas derivadas. - No lado direito aparecem
e (multiplicados por potências de ), ou seja, potências da quarta derivada — também termos não lineares. - Também há produtos entre
e derivadas, mas isso por si só não quebra a linearidade; o que quebra é o fato de termos produtos ou potências entre derivadas (ou potências das derivadas por si mesmas).
Passo 5
Conclusão sobre linearidade: por causa da presença explícita de termos como
,
e
, a equação não pode ser colocada na forma linear
. Portanto a EDO é não linear.
Resposta
Ordem:
Linearidade: não linear
Linearidade: não linear