Questão 11) Determine a convergência ou divergência pelo Teste da Razão:
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1} \frac{n^{2} 2^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência ou divergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n^{2}2^{n}}{n!}
usando o Teste da Razão.

Passo 2

Defina
a_{n}=(-1)^{n+1}\frac{n^{2}2^{n}}{n!}
e calcule
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|.

Passo 3

Primeiro, escrevemos
\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\frac{(n+1)^{2}\,2^{\,n+1}/(n+1)!}{n^{2}\,2^{n}/n!} =\frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}\;\frac{2^{\,n+1}}{2^{n}}\;\frac{n!}{(n+1)!} =\frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}\;\frac{2}{\,n+1\,} =\frac{2(n+1)}{n^{2}}.
Agora,
L=\lim_{n\to\infty}\frac{2(n+1)}{n^{2}} =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+2}{n^{2}} =0.

Passo 4

Como L=0<1, o Teste da Razão garante que a série converge absolutamente. Assim, ela converge.

Resposta

A série converge absolutamente, logo converge.

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