Verifique se o ponto P(2,-1,4) pertence à reta:
t:\left\{\begin{array}{l}\frac{y-3}{-4} \\\ x=2 \\\ z=4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o ponto P(2,-1,4)\) pertence à reta \[t:\begin{cases} \dfrac{y-3}{-4}=t,\\\ x=2,\\\ z=4. \end{cases}
Este é um exercício de geometria analítica espacial: vamos reescrever a reta em forma paramétrica e checar se existem valores de t\] que reproduzam as coordenadas de \(P.

Passo 2

Da forma simétrica
\frac{y-3}{-4}=t,\quad x=2,\quad z=4
podemos extrair a forma paramétrica atribuindo
x(t)=2,\quad y(t)=-4t+3,\quad z(t)=4.

Passo 3

Para que P esteja na reta, suas coordenadas devem satisfazer
x_P=2,\quad z_P=4.
Como em P temos x_P=2 e z_P=4, essas duas dão consistência imediata com x(t) e z(t).

Passo 4

Falta conferir o valor de y. Igualamos
y_P=-1\quad\text{com}\quad y(t)=-4t+3.
Então
-1=-4t+3 \quad\Longrightarrow\quad -4t=-4 \quad\Longrightarrow\quad t=1.
Esse valor de t existe e é único.

Passo 5

Como há um t (no caso t=1) que gera exatamente (2,-1,4) pelas expressões paramétricas de t, concluímos que P pertence à reta.

Resposta

Sim, o ponto P(2,-1,4) pertence à reta t.

Exercícios relacionados