Verifique se os pontos abaixo são coplanares:
P(-1,3,1), Q(2,0,1), R(1,1,1) e S(1,0,2).
Resp.: sim

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos em \mathbb{R}^3:
P(-1,3,1),\quad Q(2,0,1),\quad R(1,1,1),\quad S(1,0,2)
e pede para verificar se eles são coplanares.
Para isso usamos o produto misto de vetores: se
\bigl(\overrightarrow{PQ}\bigr)\cdot\bigl(\overrightarrow{PR}\times\overrightarrow{PS}\bigr)=0,
então o volume do tetraedro formado é zero e os pontos são coplanares.

Passo 2

Definimos os vetores a partir de P:
\overrightarrow{PQ}=Q-P=(2-(-1),\,0-3,\,1-1)=(3,-3,0),
\overrightarrow{PR}=R-P=(1-(-1),\,1-3,\,1-1)=(2,-2,0),
\overrightarrow{PS}=S-P=(1-(-1),\,0-3,\,2-1)=(2,-3,1).

Passo 3

Calculamos o produto vetorial
\overrightarrow{PR}\times\overrightarrow{PS} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 2&-2&0\\\\ 2&-3&1 \end{vmatrix} =(-2)\mathbf{i}-2\,\mathbf{j}+(-2)\mathbf{k} =(-2,-2,-2).

Passo 4

Agora fazemos o produto escalar
\overrightarrow{PQ}\cdot\bigl(\overrightarrow{PR}\times\overrightarrow{PS}\bigr) =(3,-3,0)\cdot(-2,-2,-2) =3\cdot(-2)+(-3)\cdot(-2)+0\cdot(-2) =-6+6+0=0.

Passo 5

Como o produto misto é zero, o volume do tetraedro é nulo e, portanto, os quatro pontos são coplanares.

Resposta

Sim.

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