Verifique se os pontos abaixo são coplanares:
A(1,0,2), B(0,-1,-1), C(1,1,1) e D(2,0,1).
Resp.: não

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os quatro pontos
A(1,0,2),\quad B(0,-1,-1),\quad C(1,1,1),\quad D(2,0,1)
são coplanares em \mathbb{R}^3. O critério que vamos usar é o produto misto (ou triplo escalar): escolhemos um ponto de referência (por exemplo A) e calculamos os vetores \vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}. Se
\vec{AB}\cdot\bigl(\vec{AC}\times\vec{AD}\bigr)=0,
os pontos são coplanares; caso contrário, não são.

Passo 2

Calcular os vetores a partir de A:
\vec{AB}=B-A=(0-1,\,-1-0,\,-1-2)=(-1,-1,-3),
\vec{AC}=C-A=(1-1,\,1-0,\,1-2)=(0,1,-1),
\vec{AD}=D-A=(2-1,\,0-0,\,1-2)=(1,0,-1).

Passo 3

Calcular o produto vetorial \vec{AC}\times\vec{AD}. Usando a regra de Sarrus ou determinante 3\times 3:
\vec{AC}\times\vec{AD} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\[6pt] 0&1&-1\\[3pt] 1&0&-1 \end{vmatrix} =\bigl(1\cdot(-1)-(-1)\cdot0,\;-[0\cdot(-1)-(-1)\cdot1],\;0\cdot0-1\cdot1\bigr) =(-1,-1,-1).]

Passo 4

Agora o produto misto:
\vec{AB}\cdot\bigl(\vec{AC}\times\vec{AD}\bigr) =(-1,-1,-3)\cdot(-1,-1,-1) =(-1)(-1)+(-1)(-1)+(-3)(-1)=1+1+3=5\neq0.

Passo 5

Como o produto misto é diferente de zero, concluímos que os quatro pontos não estão num mesmo plano.

Resposta

não

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