Verifique se os pontos A(1,2,4), B(-1,0,2), C(0,2,2) e D(-2,1,3) estão no mesmo plano ou não.

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos em R^3:
A(1,2,4), B(-1,0,2), C(0,2,2), D(-2,1,3),
e pede para verificar se eles são coplanares. O critério mais direto é usar o produto misto (ou triplo escalar) de três vetores formados a partir de um mesmo ponto; se o resultado for zero, o volume do tetraedro é zero e os pontos são coplanares.

Passo 2

Escolhemos o ponto A como referência e formamos os vetores
AB = B - A = (-1-1,;0-2,;2-4) = (-2,-2,-2),
AC = C - A = (0-1,;2-2,;2-4) = (-1,0,-2),
AD = D - A = (-2-1,;1-2,;3-4) = (-3,-1,-1)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial ACtimesAD. Usando
(a1,a2,a3)times(b1,b2,b3) = (a2b3 - a3b2,;a3b1 - a1b3,;a1b2 - a2b1),
temos
ACtimesAD = (-1,0,-2)times(-3,-1,-1) = l(0cdot(-1)-(-2)cdot(-1),;-2cdot(-3)-(-1)cdot(-1),;-1cdot(-1)-0cdot(-3)r) = (-2,5,1)

Passo 4

Agora fazemos o produto escalar de AB com o resultado acima:
ABcdotl(ACtimesADr) = (-2,-2,-2)cdot(-2,5,1) =(-2)cdot(-2)+(-2)cdot5+(-2)cdot1 =4-10-2=-8

Passo 5

O produto misto é -8neq0. Isso significa que o volume do tetraedro formado por A,B,C,D é diferente de zero, logo os quatro pontos não são coplanares.

Resposta

Os pontos A, B, C e D não estão no mesmo plano.

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