Verifique se as posições de duas partículas podem ser escritas em termos do CM e posições relativas como r1=R+m2 r / M e r2=R-m1 r / M. Portanto, confirme que a EC total de duas partículas pode ser expressa como T=12 M dotR^2+12 mu dotr^2, onde mu denota a massa reduzida mu=m1 m2 / M.
OBS: A posição do CM está sendo representada por R, enquanto a coordenada relativa está sendo denotada por r.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede duas coisas:
  1. Mostrar que as posições das partículas podem ser escritas como
r1=R+m2M,r e r2=R-m1M,r,
onde
  • R=(m1r1+m2r2)/M é a posição do centro de massa,
  • r=r1-r2 é a coordenada relativa,
  • M=m1+m2.
  1. A partir daí, comprovar que a energia cinética total
T=tfrac12,m1dotr1^2+tfrac12,m2dotr2^2
se separa em
T=tfrac12,M,dotR^2+tfrac12,mu,dotr^2,
onde mu=m1m2/M é a massa reduzida.
O que vamos usar?
  • Definições de CM e coordenada relativa.
  • Álgebra vetorial básica pra inverter relações e expandir quadrados.
  • Cancelamento dos termos cruzados.

Passo 2

Primeiro, invertemos as definições
R=m1r1+m2r2M, r=r1-r2
Queremos expressar r1 e r2 em função de R e r.
  1. Somamos m2cdot(segunda eq) a Mcdot(primeira eq):
MR+m2r = m1r1+m2r2+m2(r1-r2) = (m1+m2)r1 = M,r1
Logo
r1 =R+m2M,r
  1. De modo análogo, multiplicamos a equação do CM por m1 e subtraímos m1r:
MR-m1r = m1r1+m2r2-m1(r1-r2) = (m1+m2)r2 = M,r2,
ou seja
r2 =R-m1M,r

Passo 3

Agora calculamos as velocidades:
dotr1 =dotR+m2M,dotr, dotr2 =dotR-m1M,dotr
A energia cinética total é
T =tfrac12,m1l(dotR+tfracm2Mdotrr)^2 +tfrac12,m2l(dotR-tfracm1Mdotrr)^2
Vamos expandir cada quadrado:
  • Primeiro termo: m1l(dotR^2 +2,dotRcdottfracm2Mdotr +tfracm2^2M^2dotr^2r)
  • Segundo termo: m2l(dotR^2 -2,dotRcdottfracm1Mdotr +tfracm1^2M^2dotr^2r)

Passo 4

Juntando tudo em T=tfrac12(dots), temos três tipos de termos:
  1. dotR^2: tfrac12l(m1+m2r)dotR^2 =tfrac12,M,dotR^2
  2. Termos cruzados dotRcdotdotr: tfrac12l(2m1tfracm2M-2m2tfracm1Mr)dotRcdotdotr =0 (eles se cancelam porque m1m2/M - m2m1/M =0).
  3. dotr^2: tfrac12l( m1tfracm2^2M^2+m2tfracm1^2M^2 r)dotr^2 =tfrac12,m1m2(m1+m2)M^2;dotr^2 =tfrac12,m1m2M;dotr^2 =tfrac12,mu,dotr^2

Resposta

Portanto ficou comprovado que
boxed r1=R+m2M,r, r2=R-m1M,r, T=12,M,dotR^2+12,mu,dotr^2

Exercícios relacionados