Verifique se as posições de duas partículas podem ser escritas em termos do CM e posições relativas como
e
. Portanto, confirme que a EC total de duas partículas pode ser expressa como
, onde
denota a massa reduzida
.
OBS: A posição do CM está sendo representada por
, enquanto a coordenada relativa está sendo denotada por r.
OBS: A posição do CM está sendo representada por
Passo 1
Beleza, o enunciado pede duas coisas:
- Mostrar que as posições das partículas podem ser escritas como
onde
-
é a posição do centro de massa, -
é a coordenada relativa, -
.
- A partir daí, comprovar que a energia cinética total
se separa em
onde
é a massa reduzida.
O que vamos usar?
- Definições de CM e coordenada relativa.
- Álgebra vetorial básica pra inverter relações e expandir quadrados.
- Cancelamento dos termos cruzados.
Passo 2
Primeiro, invertemos as definições
Queremos expressar
e
em função de
e
.
- Somamos
a :
Logo
- De modo análogo, multiplicamos a equação do CM por
e subtraímos :
ou seja
Passo 3
Agora calculamos as velocidades:
A energia cinética total é
Vamos expandir cada quadrado:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
Passo 4
Juntando tudo em
, temos três tipos de termos:
-
: - Termos cruzados
: (eles se cancelam porque ). -
:
Resposta
Portanto ficou comprovado que