Verifique as posições relativas entre as seguintes retas (caso sejam concorrentes, indique o ponto de interseção). r 1: X=(1,2,0)+t \cdot(1,1,2) \quad r 2: X=(4,1,4)+s \cdot(1,-1,1)
Passo 1
O enunciado pede para verificar a posição relativa entre duas retas e, caso sejam concorrentes, indicar o ponto de interseção.
Dados fornecidos:
r_1:\; X = (1,2,0) + t\cdot(1,1,2)
r_2:\; X = (4,1,4) + s\cdot(1,-1,1)
Informações importantes que temos (repetindo devagar para fixar): os pontos iniciais (um ponto de cada reta) são (1,2,0) para r_1 e (4,1,4) para r_2. Os vetores diretores são (1,1,2) para r_1 e (1,-1,1) para r_2. O que precisa decidir: as retas são paralelas, coincidentes, concorrentes (se se cortam num ponto) ou reversas (skew, não se cruzam nem são paralelas)?
Passo 2
Primeiro passo técnico: verificar se as retas são paralelas ou colineares. Para isso comparamos os vetores diretores.
Os vetores diretores são
\vec{v}_1 = (1,1,2),\qquad \vec{v}_2 = (1,-1,1).
Explicação da ideia: duas retas são paralelas ou coincidentes se e somente se seus vetores diretores são múltiplos escalares um do outro; isto é, existe \lambda tal que \vec{v}_1 = \lambda \vec{v}_2. Para checar isso, igualamos componente a componente.
isso dá 1 = -1, o que é impossível. Logo não existe \lambda que torne \vec{v}_1 proporcional a \vec{v}_2.
Conclusão parcial (importante): as retas não são paralelas nem coincidentes. Como não são paralelas, restam duas possibilidades: elas se intersectam (são concorrentes) ou são reversas (skew — ficam em posições diferentes no espaço e não se cruzam).
Passo 3
Método para checar interseção: igualamos as coordenadas paramétricas e tentamos achar valores t\) e \(s\) que tornem os pontos iguais. Ou seja, procuramos \(t,s\) tais que
\[(1+t,\;2+t,\;0+2t) = (4+s,\;1-s,\;4+s).
Isso gera o sistema de três equações lineares em t e s:
\begin{cases} 1 + t = 4 + s,\\[4pt] 2 + t = 1 - s,\\[4pt] 2t = 4 + s. \end{cases}
Explicando: cada linha vem da igualdade componente a componente (primeira componente x\], segunda \(y, terceira z). Se existir solução (t,s) que satisfaça as três equações simultaneamente, as retas se cruzam nesse ponto; se não houver solução, são reversas.]
Passo 4
Vamos resolver o sistema passo a passo por eliminação (jeito direto e que dá para fazer na prova sem calculadora).
Das duas primeiras equações:
1 + t = 4 + s \quad\Rightarrow\quad t - s = 3 \quad\text{(equação A)},çã
2 + t = 1 - s \quad\Rightarrow\quad t + s = -1 \quad\text{(equação B)}.çã
a terceira equação é satisfeita também. Ótimo — o sistema é consistente.
Passo 5
Como existe solução comum (t,s)=(1,-2) que torna as coordenadas iguais, concluímos que as retas se intersectam (são concorrentes). Agora calculamos o ponto de interseção substituindo t=1 em r_1 (ou s=-2 em r_2; ambos dão o mesmo resultado como já conferimos).
Substituindo em r_1:
X = (1,2,0) + 1\cdot(1,1,2) = (1+1,\;2+1,\;0+2) = (2,3,2).
Verificação rápida em r_2 com s=-2:
X = (4,1,4) + (-2)\cdot(1,-1,1) = (4-2,\;1+2,\;4-2) = (2,3,2).
Portanto as duas formas dão o mesmo ponto (2,3,2).
Dica para a prova (resumindo o método que usamos; anota aí):
compare vetores diretores para ver se são proporcionais (se sim, paralelas ou coincidentes);
se não são proporcionais, iguale as componentes paramétricas e resolva o sistema para t,s;
se o sistema tiver solução consistente, as retas intersectam naquele (t,s); se não tiver solução, são reversas. Isso é direto e rápido de aplicar.