[ 6,0 ] Sejam a reta r e o plano \pi, respectivamente
\begin{array}{ll} r: & \vec{r}=(1,1,1)+\lambda(1,1,-2) \\\ \pi: & x+4 y+z+4=0 . \end{array}
a. [1 / 2] Encontrar a projeção do ponto P= ( 5,0,3 ) sobre o plano \pi tomando a direção da reta r.
b. [ 1 / 2 ] Usar a técnica do feixe de planos para obter o plano que contém r e P.
c. [1 / 2] Obter o plano contendo r e que forma um ângulo de \pi / 3 radianos com o plano \pi.
d. [3/4] Determinar a distância entre P e r.
e. [3 / 4] Determinar a distância entre P e \pi.
f. [ 3/4 ] Determinar os pontos de r distantes de P por \sqrt{21} unidades.
g. [ 3 / 4 ] Determinar a posição relativa entre a reta r e a reta s, passando em P e ortogonal a \pi.
h. [ 3/4 ] Determinar a distância entre as retas r e s do item \mathbf{g}.
i. [ 3 / 4 ] Determinar os pontos de \pi distantes \sqrt{33 / 2} unidades de r.

Passo 1

O enunciado dá a reta r, o plano \pi e o ponto P. Vou listar explicitamente o que tenho e o que é pedido:
Dados:
r:\\ \vec{r}=(1,1,1)+\lambda(1,1,-2).
\pi:\\ x+4y+z+4=0.
P=(5,0,3).
Perguntas (a)–(i):
a. Encontrar a projeção de P sobre \pi tomando a direção da reta r.
b. Usar a técnica do feixe de planos para obter o plano que contém r e P.
c. Obter o plano contendo r que forma ângulo \pi/3 com \pi.
d. Determinar a distância entre P e r.
e. Determinar a distância entre P e \pi.
f. Determinar os pontos de r que estão a \sqrt{21} de P.
g. Determinar a posição relativa entre r e a reta s que passa por P e é ortogonal a \pi.
h. Determinar a distância entre as retas r e s do item (g).
i. Determinar os pontos de \pi que estão a \sqrt{33/2} unidades de r.

Passo 2

Primeiras observações úteis (dados auxiliares que vou usar várias vezes). Não é resolução ainda, é só montarmos as peças:
  • Um ponto da reta r é A=(1,1,1).
  • Um vetor diretor de r é \vec{u}=(1,1,-2).
  • Um vetor normal ao plano \pi é \vec{n}=(1,4,1).
  • Algumas normas que usarei: \|\vec{u}\|=\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{6}, \qquad \|\vec{n}\|=\sqrt{1^2+4^2+1^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}.
Esses elementos são padrão: ponto da reta, vetor diretor da reta e vetor normal do plano.

Passo 3

(a) Projeção de P sobre \pi na direção de r.
Ideia: a projeção de P na direção de r é o ponto Q\in\pi tal que \overrightarrow{PQ} é paralelo a \vec{u}. Então parametrizo a reta que passa por P com direção \vec{u}:
L: X(t)=P+t\vec{u}=(5+t,\;0+t,\;3-2t).
Busco t tal que X(t) satisfaz a equação do plano \pi:
x+4y+z+4=0.
Substituindo X(t) (coloquei os valores na equação do plano):
(5+t)+4(0+t)+(3-2t)+4=0.
Calculo passo a passo:
5+t+4t+3-2t+4 = 12 + 3t =0 \quad\Rightarrow\quad t=-4.
Logo a projeção é
Q = X(-4)=(5-4,\;0-4,\;3+8)=(1,-4,11).
Confere: 1+4(-4)+11+4=1-16+11+4=0. Beleza — é ponto do plano.

Passo 4

(b) Plano que contém r e P usando feixe de planos.
Explicação da técnica do feixe de planos (intuição): todas as retas r estão contidas em infinitos planos. Para descrever o feixe de planos que contém r podemos encontrar dois planos distintos que contenham r; qualquer combinação linear (não-trivial) desses dois planos dá outro plano que contém r. Depois imponho que o plano escolhido contenha P.
Passo prático: preciso de dois planos que contenham r. Um plano contém a reta r se contém um ponto de r (por exemplo A) e se o vetor normal do plano é ortogonal ao vetor diretor \vec{u}. Então procuro dois vetores normais \vec{n}_1,\vec{n}_2 ortogonais a \vec{u}.
Resolver \vec{n}\cdot\vec{u}=0 com \vec{u}=(1,1,-2) a+b-2c=0 para \vec{n}=(a,b,c). Duas soluções simples (inteiras) são:
\vec{n}_1=(2,0,1) e \vec{n}_2=(0,2,1).
Os planos que passam por A=(1,1,1) e têm esses normais são:
\pi_1:\\ \vec{n}_1\cdot(X-A)=0 \Rightarrow 2(x-1)+ (z-1)=0 \Rightarrow 2x+z-3=0,
\pi_2:\\ \vec{n}_2\cdot(X-A)=0 \Rightarrow 2(y-1)+ (z-1)=0 \Rightarrow 2y+z-3=0.
Ambos contém r (verificação: \vec{n}_i\cdot\vec{u}=0 e contém A). Assim o feixe de planos que contém r é dado por combinações lineares:
\alpha(2x+z-3)+\beta(2y+z-3)=0,
com (\alpha,\beta)\neq(0,0). Dividindo por \alpha+\beta (se \alpha+\beta\neq0) e escrevendo t=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta} obtemos a forma conveniente
2t x + 2(1-t)y + z -3 =0,\quad t\in\mathbb{R}.
Agora imponho que o plano contenha P=(5,0,3):
2t\cdot 5 + 2(1-t)\cdot 0 + 3 - 3 = 10t =0 \Rightarrow t=0.
Portanto o plano buscado é, para t=0,
2y+z-3=0.

Passo 5

(c) Plano contendo r que forma ângulo \pi/3 com \pi.
Idéia: o ângulo entre dois planos é o ângulo entre seus vetores normais. Então, para o plano do feixe achei a normal dependente de t:
\vec{N}(t)=(2t,\;2(1-t),\;1).
O normal do plano \pi é \vec{n}=(1,4,1). O cosseno do ângulo entre as normais (e portanto entre os planos) é
\cos\theta=\frac{|\vec{N}\cdot\vec{n}|}{\|\vec{N}\|\|\vec{n}\|}.
Queremos \theta=\pi/3, então \cos\theta=\tfrac{1}{2}. Portanto
\frac{|\vec{N}(t)\cdot\vec{n}|}{\|\vec{N}(t)\|\|\vec{n}\|}=\frac{1}{2}.
Calculo os termos:
\vec{N}(t)\cdot\vec{n}=2t\cdot1 + 2(1-t)\cdot4 + 1\cdot1 = 2t +8(1-t)+1 = 9-6t.
\|\vec{N}(t)\|^2 = (2t)^2 + (2(1-t))^2 + 1^2 = 8t^2 -8t +5.
\|\vec{n}\|=3\sqrt{2}.
A equação ( |9-6t| = \tfrac{3\sqrt{2}}{2}\|\vec{N}\|) ao elevar ao quadrado dá
(9-6t)^2 = \frac{9}{2}\,(8t^2-8t+5).
Fazendo as contas os termos quadráticos se cancelam e sobrou uma equação linear:
117-144t=0 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{117}{144}=\frac{13}{16}.
Assim o plano correspondente tem equação (usar a forma do feixe e multiplicar por 8 para evitar frações):
\frac{13}{8}x+\frac{3}{8}y+z-3=0 \quad\Rightarrow\quad 13x+3y+8z-24=0.
(Observe que o sinal absoluto dá a mesma solução t; por isso só apareceu uma opção.)

Passo 6

(d) Distância entre P e r.
Fórmula (aula rápida): a distância entre um ponto P e uma reta que passa por A com vetor diretor \vec{u} é
d(P,r)=\frac{\|( \overrightarrow{AP}\times\vec{u})\|}{\|\vec{u}\|},
onde \overrightarrow{AP}=P-A.
Aqui \overrightarrow{AP}=(5,0,3)-(1,1,1)=(4,-1,2). Calculo o produto vetorial:
\overrightarrow{AP}\times\vec{u} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 4 & -1 & 2 \\\\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (0,10,5).
Norma desse vetor:
\|(0,10,5)\|=\sqrt{0^2+10^2+5^2}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}.
Então
d(P,r)=\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{6}}=\frac{5\sqrt{30}}{6}.

Passo 7

(e) Distância entre P e \pi.
Fórmula direta: distância de ponto P=(x_0,y_0,z_0) ao plano ax+by+cz+d=0 é
d=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
No nosso caso, a=1,b=4,c=1,d=4 e P=(5,0,3), então
|1\cdot5 +4\cdot0 +1\cdot3 +4| = |12|=12,
\sqrt{1^2+4^2+1^2}=3\sqrt{2}.
Logo
d(P,\pi)=\frac{12}{3\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}.

Passo 8

(f) Pontos de r que estão a \sqrt{21} de P.
Parametrizo pontos de r por \lambda:
X(\lambda)=(1+\lambda,\;1+\lambda,\;1-2\lambda).
Quero \|X(\lambda)-P\|^2 = (\sqrt{21})^2 = 21. Calculo a distância ao quadrado:
\|X(\lambda)-P\|^2=(\lambda-4)^2 + (1+\lambda)^2 + (-2-2\lambda)^2.
Expando:
(\lambda^2-8\lambda+16) + (\lambda^2+2\lambda+1) + (4+8\lambda+4\lambda^2) = 6\lambda^2 + 2\lambda +21.
Impondo igual a 21:
6\lambda^2 + 2\lambda +21 =21 \quad\Rightarrow\quad 6\lambda^2+2\lambda=0
2\lambda(3\lambda+1)=0 \Rightarrow \lambda=0 \\ \text{ou}\\ \lambda=-\tfrac{1}{3}.
Correspondem aos pontos:
\lambda=0 \Rightarrow (1,1,1), \qquad \lambda=-\tfrac{1}{3} \Rightarrow \Big(\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{5}{3}\Big).

Passo 9

(g) Posição relativa entre r e a reta s que passa por P e é ortogonal a \pi.
A reta s tem ponto P e direção \vec{n}=(1,4,1), então s:\; P+t\vec{n}. Para ver se r e s se intersectam, resolvo A+\lambda\vec{u}=P+t\vec{n}:
(1+\lambda,1+\lambda,1-2\lambda)=(5+t,4t,t+3).
Das duas primeiras coordenadas obtemos 1+\lambda=5+t e 1+\lambda=4t. Igualando 5+t=4t t=5/3 e então \lambda=20/3-1=17/3. Substituindo na terceira coordenada:
1-2\lambda = 1 -2\cdot\frac{17}{3} = -\frac{31}{3},
enquanto 3+t=3+\tfrac{5}{3}=\tfrac{14}{3}. Não coincidem, logo não há interseção.
Também \vec{u} e \vec{n} não são múltiplos escalares ( (1,1,-2) não é múltiplo de (1,4,1)), então as retas não são paralelas. Conclusão: são retas reversas (obliquas), isto é, não paralelas e não concorrentes.

Passo 10

(h) Distância entre as retas r e s.
Fórmula (fácil de usar): distância entre duas retas reversas, sendo A ponto em r, B ponto em s, e vetores diretores \vec{u} e \vec{v}, é
d=\frac{|( \overrightarrow{AB}\cdot(\vec{u}\times\vec{v}) )|}{\|\vec{u}\times\vec{v}\|}.
Aqui A=(1,1,1) (ponto em r), B=P=(5,0,3) (ponto em s), \vec{u}=(1,1,-2), \vec{v}=\vec{n}=(1,4,1). Então \overrightarrow{AB}=B-A=(4,-1,2).
Calculo \vec{u}\times\vec{v}:
\vec{u}\times\vec{v}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 1 & -2 \\\\ 1 & 4 & 1 \end{vmatrix} =(9,-3,3).
Norma: \|(9,-3,3)\|=\sqrt{81+9+9}=\sqrt{99}=3\sqrt{11}.
Produto escalar \overrightarrow{AB}\cdot(\vec{u}\times\vec{v}):
(4,-1,2)\cdot(9,-3,3)=36+3+6=45.
Logo
d=\frac{|45|}{3\sqrt{11}}=\frac{15}{\sqrt{11}}=\frac{15\sqrt{11}}{11}.

Passo 11

(i) Pontos de \pi que estão a \sqrt{33/2} de r.
Método: para um ponto X\in\pi definimos v=X-A (com A ponto de r). A distância de X a r satisfaz
\operatorname{dist}(X,r)=\frac{\|v\times\vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}.
Queremos \operatorname{dist}(X,r)=\sqrt{\tfrac{33}{2}}. Elevando ao quadrado e multiplicando por \|\vec{u}\|^2=6 obtemos a condição equivalente
\|v\times\vec{u}\|^2 = 99.
Uso a identidade vetorial \|v\times\vec{u}\|^2 = \|\vec{u}\|^2\|v\|^2 - (\vec{u}\cdot v)^2. Com v=(x-1,y-1,z-1) e \vec{u}=(1,1,-2) temos
\vec{u}\cdot v = x+y-2z,
\|v\|^2=(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2.
Então a condição é
6\big((x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\big) - (x+y-2z)^2 = 99,
com a restrição adicional x+4y+z+4=0 (pois X\in\pi).
Para obter uma equação só em x,y substituo z=-x-4y-4. Fazendo as contas (expansões e simplificações — fiz passo a passo em rascunho) chego à equação quadrática em x,y
3x^2 -6xy +21y^2 +84y -1 =0,
com z dado por
z=-x-4y-4.
Portanto o conjunto dos pontos de \pi à distância \sqrt{\tfrac{33}{2}} de r é exatamente os pontos (x,y,z) que satisfazem simultaneamente
x+4y+z+4=0 \qquad\text{e}\qquad 3x^2 -6xy +21y^2 +84y -1 =0.

Resposta

a. (1,-4,11)
b. 2y+z-3=0
c. 13x+3y+8z-24=0
d. \dfrac{5\sqrt{30}}{6}
e. 2\sqrt{2}
f. (1,1,1) e \Big(\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{5}{3}\Big)
g. Reversas (não paralelas e não concorrentes)
h. \dfrac{15\sqrt{11}}{11}
i. \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+4y+z+4=0,\;3x^2-6xy+21y^2+84y-1=0\}

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