a. [1 / 2] Encontrar a projeção do ponto P= ( 5,0,3 ) sobre o plano \pi tomando a direção da reta r.
b. [ 1 / 2 ] Usar a técnica do feixe de planos para obter o plano que contém r e P.
c. [1 / 2] Obter o plano contendo r e que forma um ângulo de \pi / 3 radianos com o plano \pi.
d. [3/4] Determinar a distância entre P e r.
e. [3 / 4] Determinar a distância entre P e \pi.
f. [ 3/4 ] Determinar os pontos de r distantes de P por \sqrt{21} unidades.
g. [ 3 / 4 ] Determinar a posição relativa entre a reta r e a reta s, passando em P e ortogonal a \pi.
h. [ 3/4 ] Determinar a distância entre as retas r e s do item \mathbf{g}.
i. [ 3 / 4 ] Determinar os pontos de \pi distantes \sqrt{33 / 2} unidades de r.
Passo 1
O enunciado dá a reta r, o plano \pi e o ponto P. Vou listar explicitamente o que tenho e o que é pedido:
Dados:
r:\\ \vec{r}=(1,1,1)+\lambda(1,1,-2).
\pi:\\ x+4y+z+4=0.
P=(5,0,3).
Perguntas (a)–(i):
a. Encontrar a projeção de P sobre \pi tomando a direção da reta r.
b. Usar a técnica do feixe de planos para obter o plano que contém r e P.
c. Obter o plano contendo r que forma ângulo \pi/3 com \pi.
d. Determinar a distância entre P e r.
e. Determinar a distância entre P e \pi.
f. Determinar os pontos de r que estão a \sqrt{21} de P.
g. Determinar a posição relativa entre r e a reta s que passa por P e é ortogonal a \pi.
h. Determinar a distância entre as retas r e s do item (g).
i. Determinar os pontos de \pi que estão a \sqrt{33/2} unidades de r.
Passo 2
Primeiras observações úteis (dados auxiliares que vou usar várias vezes). Não é resolução ainda, é só montarmos as peças:
Um ponto da reta r é A=(1,1,1).
Um vetor diretor de r é \vec{u}=(1,1,-2).
Um vetor normal ao plano \pi é \vec{n}=(1,4,1).
Algumas normas que usarei:\|\vec{u}\|=\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{6}, \qquad \|\vec{n}\|=\sqrt{1^2+4^2+1^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}.
Esses elementos são padrão: ponto da reta, vetor diretor da reta e vetor normal do plano.
Passo 3
(a) Projeção de P sobre \pi na direção de r.
Ideia: a projeção de P na direção de r é o ponto Q\in\pi tal que \overrightarrow{PQ} é paralelo a \vec{u}. Então parametrizo a reta que passa por P com direção \vec{u}:
L: X(t)=P+t\vec{u}=(5+t,\;0+t,\;3-2t).
Busco t tal que X(t) satisfaz a equação do plano \pi:
x+4y+z+4=0.
Substituindo X(t) (coloquei os valores na equação do plano):
Confere: 1+4(-4)+11+4=1-16+11+4=0. Beleza — é ponto do plano.
Passo 4
(b) Plano que contém r e P usando feixe de planos.
Explicação da técnica do feixe de planos (intuição): todas as retas r estão contidas em infinitos planos. Para descrever o feixe de planos que contém r podemos encontrar dois planos distintos que contenham r; qualquer combinação linear (não-trivial) desses dois planos dá outro plano que contém r. Depois imponho que o plano escolhido contenha P.
Passo prático: preciso de dois planos que contenham r. Um plano contém a reta r se contém um ponto de r (por exemplo A) e se o vetor normal do plano é ortogonal ao vetor diretor \vec{u}. Então procuro dois vetores normais \vec{n}_1,\vec{n}_2 ortogonais a \vec{u}.
Resolver \vec{n}\cdot\vec{u}=0 com \vec{u}=(1,1,-2) dá a+b-2c=0 para \vec{n}=(a,b,c). Duas soluções simples (inteiras) são: \vec{n}_1=(2,0,1) e \vec{n}_2=(0,2,1).
Os planos que passam por A=(1,1,1) e têm esses normais são:
(g) Posição relativa entre r e a reta s que passa por P e é ortogonal a \pi.
A reta s tem ponto P e direção \vec{n}=(1,4,1), então s:\; P+t\vec{n}. Para ver se r e s se intersectam, resolvo A+\lambda\vec{u}=P+t\vec{n}:
(1+\lambda,1+\lambda,1-2\lambda)=(5+t,4t,t+3).
Das duas primeiras coordenadas obtemos 1+\lambda=5+t e 1+\lambda=4t. Igualando 5+t=4t dá t=5/3 e então \lambda=20/3-1=17/3. Substituindo na terceira coordenada:
enquanto 3+t=3+\tfrac{5}{3}=\tfrac{14}{3}. Não coincidem, logo não há interseção.
Também \vec{u} e \vec{n} não são múltiplos escalares ((1,1,-2) não é múltiplo de (1,4,1)), então as retas não são paralelas. Conclusão: são retas reversas (obliquas), isto é, não paralelas e não concorrentes.
Passo 10
(h) Distância entre as retas r e s.
Fórmula (fácil de usar): distância entre duas retas reversas, sendo A ponto em r, B ponto em s, e vetores diretores \vec{u} e \vec{v}, é
com a restrição adicional x+4y+z+4=0 (pois X\in\pi).
Para obter uma equação só em x,y substituo z=-x-4y-4. Fazendo as contas (expansões e simplificações — fiz passo a passo em rascunho) chego à equação quadrática em x,y
3x^2 -6xy +21y^2 +84y -1 =0,
com z dado por
z=-x-4y-4.
Portanto o conjunto dos pontos de \pi à distância \sqrt{\tfrac{33}{2}} de r é exatamente os pontos (x,y,z) que satisfazem simultaneamente