Verifique a posição relativa do plano -6 x+3 z+24=0 com as seguintes retas (caso sejam concorrentes, indique o ponto de interseção):
X=(1,2,3)+\lambda(1,1,1)

Passo 1

O enunciado dá um plano e uma reta e pede a posição relativa entre eles; se houver interseção, pedir para indicar o ponto de interseção. Dados fornecidos:
\text{plano: } -6x + 3z + 24 = 0
\text{reta: } X = (1,2,3) + \lambda(1,1,1),\\ \lambda\in\mathbb{R}.
Pergunta explícita: a reta é paralela ao plano, pertence ao plano, ou intersecta o plano? Se intersecta, qual é o ponto de interseção?

Passo 2

Entender o que nos permite decidir a posição relativa: o plano tem um vetor normal \mathbf{n} dado pelos coeficientes de x,y,z na equação do plano. Esse vetor normal é perpendicular a todo vetor que esteja contido no plano. Para a equação do plano
-6x + 0y + 3z + 24 = 0
o vetor normal é
\mathbf{n}=(-6,0,3).
Expliquei: cada plano escrito como ax+by+cz+d=0 tem normal \mathbf{n}=(a,b,c). Aqui a=-6, b=0, c=3.

Passo 3

A reta tem vetor diretor \mathbf{v} (o vetor que acompanha o parâmetro \lambda). Da reta dada,
\mathbf{v}=(1,1,1).
Regra prática para posição relativa:
  • Se \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=0, então \mathbf{v} é perpendicular a \mathbf{n}, logo \mathbf{v} fica no plano e a reta pode ser paralela ao plano ou estar contida no plano — aí é preciso verificar um ponto.
  • Se \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\neq 0, a reta não é paralela ao plano e, portanto, cruza o plano em exatamente um ponto (uma interseção única).

Passo 4

Calcular o produto escalar \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}. Lembre que o produto escalar de (v_1,v_2,v_3) com (n_1,n_2,n_3) é
v_1 n_1 + v_2 n_2 + v_3 n_3.
Aplicando aos nossos vetores:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{n} = (1)\cdot(-6) + (1)\cdot 0 + (1)\cdot 3 = -6 + 0 + 3 = -3.
Como \mathbf{v}\cdot\mathbf{n} = -3 \neq 0, concluímos que a reta não é paralela ao plano e portanto intersecta o plano em um único ponto.

Passo 5

Para achar o ponto de interseção, escrevemos as coordenadas paramétricas da reta e as substituímos na equação do plano. As coordenadas da reta são:
x = 1 + \lambda,\quad y = 2 + \lambda,\quad z = 3 + \lambda.
Substituímos em -6x + 3z + 24 = 0:
-6(1+\lambda) + 3(3+\lambda) + 24 = 0.

Passo 6

Desenvolver a equação e resolver para \lambda:
-6 -6\lambda + 9 + 3\lambda + 24 = 0.
Somando os termos constantes e os termos com \lambda:
(-6 + 9 + 24) + (-6\lambda + 3\lambda) = 0
27 - 3\lambda = 0.
Isolando \lambda:
-3\lambda = -27 \implies \lambda = 9.

Passo 7

Com \lambda=9, calculamos o ponto na reta:
x = 1 + 9 = 10,\quad y = 2 + 9 = 11,\quad z = 3 + 9 = 12.
Logo o ponto de interseção é (10,11,12).

Resposta

A reta intersecta o plano no ponto (10,11,12).

Exercícios relacionados