Verifique a posição relativa do plano
com as seguintes retas (caso sejam concorrentes, indique o ponto de interseção):
X=(1,2,3)+\lambda(1,1,1)
X=(1,2,3)+\lambda(1,1,1)
Passo 1
O enunciado dá um plano e uma reta e pede a posição relativa entre eles; se houver interseção, pedir para indicar o ponto de interseção. Dados fornecidos:
Pergunta explícita: a reta é paralela ao plano, pertence ao plano, ou intersecta o plano? Se intersecta, qual é o ponto de interseção?
Passo 2
Entender o que nos permite decidir a posição relativa: o plano tem um vetor normal
dado pelos coeficientes de
na equação do plano. Esse vetor normal é perpendicular a todo vetor que esteja contido no plano. Para a equação do plano
o vetor normal é
Expliquei: cada plano escrito como
tem normal
. Aqui
,
,
.
Passo 3
A reta tem vetor diretor
(o vetor que acompanha o parâmetro
). Da reta dada,
Regra prática para posição relativa:
- Se
, então é perpendicular a , logo fica no plano e a reta pode ser paralela ao plano ou estar contida no plano — aí é preciso verificar um ponto. - Se
, a reta não é paralela ao plano e, portanto, cruza o plano em exatamente um ponto (uma interseção única).
Passo 4
Calcular o produto escalar
. Lembre que o produto escalar de
com
é
Aplicando aos nossos vetores:
Como
, concluímos que a reta não é paralela ao plano e portanto intersecta o plano em um único ponto.
Passo 5
Para achar o ponto de interseção, escrevemos as coordenadas paramétricas da reta e as substituímos na equação do plano. As coordenadas da reta são:
Substituímos em
:
Passo 6
Desenvolver a equação e resolver para
:
Somando os termos constantes e os termos com
:
Isolando
:
Passo 7
Com
, calculamos o ponto na reta:
Logo o ponto de interseção é
.
Resposta
A reta intersecta o plano no ponto
.