Verifique a propriedade indicada das seguintes fórmulas através de Tableaux:
(\mathrm{p} \rightarrow(\mathrm{q} \rightarrow \mathrm{r})) \rightarrow((\mathrm{p} \wedge \mathrm{q}) \rightarrow \mathrm{r}), validade, mostrando, caso não seja, um contraexemplo.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a validade da fórmula
(p\rightarrow(q\rightarrow r))\rightarrow((p\wedge q)\rightarrow r)
usando o método de Tableaux. Em proposicional, para mostrar que uma fórmula F é válida, consideramos \neg F na raiz da árvore e tentamos fechá-la. Se todos os ramos fecharem, F é tautologia.

Passo 2

Colocamos na raiz a negação da fórmula e aplicamos a regra de \neg(A\rightarrow B):
\neg\bigl((p\to(q\to r))\to((p\wedge q)\to r)\bigr)
gera
p\to(q\to r) \quad,\quad \neg\bigl((p\wedge q)\to r\bigr).

Passo 3

Em seguida, aplicamos de novo a regra de \neg(A\rightarrow B) sobre \neg((p\wedge q)\to r) e depois a regra de conjunção:
(p\wedge q) \quad,\quad \neg r \quad\longrightarrow\quad p \quad,\quad q \quad,\quad \neg r
Agora cada ramo contém as fórmulas
p\to(q\to r),\quad p,\quad q,\quad \neg r.

Passo 4

Decompomos p\to(q\to r) como disjunção:
\neg p\;\lor\;(q\to r).
Isso gera dois sub-ramos:
  • Ramo 1: adiciona \neg p. Como já temos p, há contradição e o ramo fecha.
  • Ramo 2: adiciona q\to r. Decompomos q\to r em \neg q\lor r, criando dois sub-ramos:
  1. \neg q fecha com q.
  2. r fecha com \neg r.
Todos os ramos fecham, então a negação da fórmula não tem modelo.

Resposta

A fórmula (p\rightarrow(q\rightarrow r))\rightarrow((p\wedge q)\rightarrow r) é válida (tautologia).

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