Verifique que -3 é raiz de x^{3}+9 x^{2}+26 x+24 e em seguida fatore essa expressão polnomial.
((x+2) \cdot(x+3) \cdot(x+4))

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dá o polinômio p(x)=x^{3}+9x^{2}+26x+24.
  • Pede para verificar que -3 é raiz de p(x).
  • Em seguida pede para fatorar o polinômio (ou seja, escrever p(x) como produto de fatores polinomiais de grau menor).
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • Coeficientes do polinômio (em ordem decrescente de grau): 1,\;9,\;26,\;24.
  • O número a testar como raiz é -3.

Passo 2

Verificar se -3 é raiz significa calcular p(-3) e ver se o resultado é zero. Vou calcular passo a passo:
p(-3)=(-3)^{3}+9(-3)^{2}+26(-3)+24
Calcule cada termo separadamente:
(-3)^{3}=-27, \qquad 9(-3)^{2}=9\cdot 9=81, \qquad 26(-3)=-78, \qquad 24=24.
Agora some os termos:
p(-3)=-27+81-78+24.
Fazendo as somas em ordem:
-27+81=54, \qquad 54-78=-24, \qquad -24+24=0.
Portanto
p(-3)=0.
Conclusão: -3 é de fato raiz de p(x). Pela Teorema do Resto / Teorema das Raízes (Factor Theorem), se p(r)=0 então (x-r) é um fator de p(x). Como r=-3, concluímos que (x+3) é um fator de p(x).

Passo 3

Agora vamos dividir p(x) por (x+3) para obter o quociente (um polinômio de grau 2). A forma mais rápida aqui é usar divisão sintética com o valor r=-3. Coeficientes de p(x): 1,\;9,\;26,\;24.
Procedimento de divisão sintética (explicando cada passo):
  • Escreve-se os coeficientes: 1,\;9,\;26,\;24.
  • Baixa o 1 para o coeficiente do quociente.
  • Multiplica 1 por r=-3 dando -3; soma com o próximo coeficiente 9 para obter 6.
  • Multiplica 6 por -3 dando -18; soma com 26 para obter 8.
  • Multiplica 8 por -3 dando -24; soma com 24 para obter 0 (resto).
Escrevendo os resultados:
\begin{array}{cccc} \text{coeficientes:} & 1 & 9 & 26 & 24\\[4pt] \text{divisor }(r=-3): & & -3 & -18 & -24\\[4pt] \hline \text{somatório:} & 1 & 6 & 8 & 0 \end{array}ó
Os números 1,\;6,\;8 são os coeficientes do quociente (grau 2), ou seja o quociente é
q(x)=x^{2}+6x+8.
O resto é 0, o que confirma que a divisão é exata.]

Passo 4

Agora fatoramos o quadrático q(x)=x^{2}+6x+8. Procuramos dois números cujo produto seja 8 e cuja soma seja 6. Esses números são 2 e 4, porque 2\cdot 4=8 e 2+4=6. Logo
x^{2}+6x+8=(x+2)(x+4).

Passo 5

Como (x+3) é fator e o quociente fatorou como (x+2)(x+4), temos a fatoração completa de p(x):
p(x)=(x+3)\bigl(x^{2}+6x+8\bigr)=(x+3)(x+2)(x+4).
Podemos reordenar os fatores (a ordem não altera o produto) para combinar com a forma sugerida no enunciado:
p(x)=(x+2)(x+3)(x+4).

Resposta

(x+2)\cdot(x+3)\cdot(x+4)

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