Verifique que -3 é raiz de
e em seguida fatore essa expressão polnomial.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Dá o polinômio
. - Pede para verificar que
é raiz de . - Em seguida pede para fatorar o polinômio (ou seja, escrever
como produto de fatores polinomiais de grau menor).
Informações úteis extraídas do enunciado:
- Coeficientes do polinômio (em ordem decrescente de grau):
. - O número a testar como raiz é
.
Passo 2
Verificar se
é raiz significa calcular
e ver se o resultado é zero. Vou calcular passo a passo:
Calcule cada termo separadamente:
Agora some os termos:
Fazendo as somas em ordem:
Portanto
Conclusão:
é de fato raiz de
. Pela Teorema do Resto / Teorema das Raízes (Factor Theorem), se
então
é um fator de
. Como
, concluímos que
é um fator de
.
Passo 3
Agora vamos dividir
por
para obter o quociente (um polinômio de grau 2). A forma mais rápida aqui é usar divisão sintética com o valor
. Coeficientes de
:
.
Procedimento de divisão sintética (explicando cada passo):
- Escreve-se os coeficientes:
. - Baixa o
para o coeficiente do quociente. - Multiplica
por dando ; soma com o próximo coeficiente para obter . - Multiplica
por dando ; soma com para obter . - Multiplica
por dando ; soma com para obter (resto).
Escrevendo os resultados:
Os números
são os coeficientes do quociente (grau 2), ou seja o quociente é
O resto é
, o que confirma que a divisão é exata.]
Passo 4
Agora fatoramos o quadrático
. Procuramos dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
. Esses números são
e
, porque
e
. Logo
Passo 5
Como
é fator e o quociente fatorou como
, temos a fatoração completa de
:
Podemos reordenar os fatores (a ordem não altera o produto) para combinar com a forma sugerida no enunciado: