Verifique a regra da cadeia (derivada total) para a função f(x, y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right) tal que \left\{\begin{array}{l}x=2 t-1 \\\ y=5 t^{2}-t\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado pede para verificar a regra da cadeia (derivada total) para a função f(x,y)=\ln\!\big(x^{2}+y^{2}\big) com as relações
x=2t-1,\qquad y=5t^{2}-t.
Informações dadas:
f(x,y)=\ln\!\big(x^{2}+y^{2}\big),
x(t)=2t-1,
y(t)=5t^{2}-t.
O que precisamos: calcular \dfrac{df}{dt} aplicando a regra da cadeia e mostrar explicitamente o passo a passo.

Passo 2

Introdução à regra da cadeia (versão multivariável) — explicação didática:
Quando temos f(x,y) e x e y dependem de t, a derivada total de f em relação a t é dada por
\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Aqui \dfrac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x (tratando y como constante) e \dfrac{\partial f}{\partial y} é a derivada parcial de f em relação a y (tratando x como constante). Essa fórmula é uma forma direta da regra da cadeia: somamos as contribuições de cada variável intermediária multiplicadas pela taxa de variação dessa variável em relação a t.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f. Usamos a regra da cadeia interna para \ln(u): se g(u)=\ln(u) então g'(u)=\dfrac{1}{u}. Aqui u=x^{2}+y^{2}.
Derivando em relação a x (com y constante):
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2}) =\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2x =\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}.
Derivando em relação a y (com x constante):
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2}) =\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2y =\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Calcular \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} a partir das relações fornecidas:
x(t)=2t-1 \quad\Rightarrow\quad \frac{dx}{dt}=2.
y(t)=5t^{2}-t \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dt}=10t-1.

Passo 5

Aplicar a fórmula da regra da cadeia:
\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{dy}{dt} =\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2+\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}\cdot(10t-1).
Colocando sobre o mesmo denominador:
\frac{df}{dt}=\frac{4x+2y(10t-1)}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 6

Substituir x(t) e y(t) na expressão para obter \dfrac{df}{dt} em função de t.
Primeiro o numerador:
4x+2y(10t-1)=4(2t-1)+2(5t^{2}-t)(10t-1).
Calcule passo a passo (5t^{2}-t)(10t-1):
(5t^{2}-t)(10t-1)=5t^{2}\cdot 10t + 5t^{2}\cdot(-1) - t\cdot 10t + t\cdot 1 =50t^{3}-5t^{2}-10t^{2}+t =50t^{3}-15t^{2}+t.
Multiplicando por 2:
2(5t^{2}-t)(10t-1)=100t^{3}-30t^{2}+2t.
Somando 4(2t-1)=8t-4:
\text{numerador}=100t^{3}-30t^{2}+2t+8t-4=100t^{3}-30t^{2}+10t-4.

Passo 7

Agora o denominador x^{2}+y^{2} com x=2t-1 e y=5t^{2}-t:
x^{2}=(2t-1)^{2}=4t^{2}-4t+1,
y^{2}=(5t^{2}-t)^{2}=25t^{4}-10t^{3}+t^{2}.
Somando:
x^{2}+y^{2}=25t^{4}-10t^{3}+(4t^{2}+t^{2})-4t+1 =25t^{4}-10t^{3}+5t^{2}-4t+1.

Passo 8

Portanto, a expressão final simplificada da derivada em função de t é
\frac{df}{dt}=\frac{100t^{3}-30t^{2}+10t-4}{25t^{4}-10t^{3}+5t^{2}-4t+1}.

Passo 9

Verificação alternativa rápida (mesma ideia, checagem): calcular diretamente
\frac{d}{dt}\ln\!\big(x^{2}+y^{2}\big)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{d}{dt}(x^{2}+y^{2}) =\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\big(2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}\big),
que é exatamente a expressão obtida anteriormente, confirmando a regra da cadeia.

Resposta

\displaystyle \frac{df}{dt}=\frac{4x+2y(10t-1)}{x^{2}+y^{2}}\newline
\displaystyle \frac{df}{dt}=\frac{100t^{3}-30t^{2}+10t-4}{25t^{4}-10t^{3}+5t^{2}-4t+1}

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