Verifique a regra da cadeia (derivada total) para a função
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a regra da cadeia (derivada total) para a função
com as relações
Informações dadas:
O que precisamos: calcular
aplicando a regra da cadeia e mostrar explicitamente o passo a passo.
Passo 2
Introdução à regra da cadeia (versão multivariável) — explicação didática:
Quando temos e
e
dependem de
, a derivada total de
em relação a
é dada por
Quando temos
Aqui
é a derivada parcial de
em relação a
(tratando
como constante) e
é a derivada parcial de
em relação a
(tratando
como constante). Essa fórmula é uma forma direta da regra da cadeia: somamos as contribuições de cada variável intermediária multiplicadas pela taxa de variação dessa variável em relação a
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Usamos a regra da cadeia interna para
: se
então
. Aqui
.
Derivando em relação a
(com
constante):
Derivando em relação a
(com
constante):
Passo 4
Calcular
e
a partir das relações fornecidas:
Passo 5
Aplicar a fórmula da regra da cadeia:
Colocando sobre o mesmo denominador:
Passo 6
Substituir
e
na expressão para obter
em função de
.
Primeiro o numerador:
Calcule passo a passo
:
Multiplicando por
:
Somando
:
Passo 7
Agora o denominador
com
e
:
Somando:
Passo 8
Portanto, a expressão final simplificada da derivada em função de
é
Passo 9
Verificação alternativa rápida (mesma ideia, checagem): calcular diretamente
que é exatamente a expressão obtida anteriormente, confirmando a regra da cadeia.