Verifique as relações de conversão do Sistema Inglês absoluto para o SI para: peso específico. Utilize as seguintes relações básicas de conversão: 1 \mathrm{ft}=0,3048 \mathrm{~m} ; 1 \mathrm{lbf}=4,4482 \mathrm{~N} e 1 slug =14,594 \mathrm{~kg}.

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar as relações de conversão do peso específico (peso por unidade de volume) do Sistema Inglês absoluto para o SI, usando as três relações fornecidas.
Informações dadas (peguei estes números do enunciado):
  • 1\\ \mathrm{ft}=0,3048\\ \mathrm{m}.
  • 1\\ \mathrm{lbf}=4,4482\\ \mathrm{N}.
  • 1\\ \mathrm{slug}=14,594\\ \mathrm{kg}.
O objetivo concreto nesta questão: obter o fator para converter unidades de peso específico do tipo \dfrac{\mathrm{lbf}}{\mathrm{ft}^3} (ou, se útil, \dfrac{\text{peso de 1 slug}}{\mathrm{ft}^3}) para \dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^3}.

Passo 2

Definição e ideia básica (aula curta): peso específico é o peso por unidade de volume. Escrevemos
\gamma=\frac{W}{V},
onde W é uma força (peso) e V é um volume. Logo, em unidades:
  • no SI \gamma tem unidades \dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^3};
  • no Inglês absoluto \gamma tipicamente aparece em \dfrac{\mathrm{lbf}}{\mathrm{ft}^3}.
Para converter \dfrac{\mathrm{lbf}}{\mathrm{ft}^3} para \dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^3} devemos converter a unidade de força (lbf → N) e a unidade de volume (ft^3 → m^3). Não é preciso usar massa nem aceleração se convertermos diretamente força e volume.

Passo 3

Conversão direta de \dfrac{\mathrm{lbf}}{\mathrm{ft}^3} para \dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^3}:
Começamos com
1\\ \frac{\mathrm{lbf}}{\mathrm{ft}^3} = \frac{1\\ \mathrm{lbf}}{1\\ \mathrm{ft}^3}
e aplicamos as duas conversões dadas:
1\\ \frac{\mathrm{lbf}}{\mathrm{ft}^3} = \frac{4,4482\\ \mathrm{N}}{(0,3048\\ \mathrm{m})^3}.
Calculemos o denominador: (0,3048)^3=0,028316846592\\ \mathrm{m}^3. Então
1\\ \frac{\mathrm{lbf}}{\mathrm{ft}^3} = \frac{4,4482}{0,028316846592}\\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^3}.
Fazendo a divisão:
1\\ \frac{\mathrm{lbf}}{\mathrm{ft}^3}\approx 157,087\\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^3}.
Explicando rápido: cada lbf vira 4,4482\\ \mathrm{N} e cada pé cúbico vira 0,028316846592\\ \mathrm{m}^3; dividir força por volume dá o fator numérico acima.

Passo 4

Verificação alternativa via massa (usa a informação do slug) — útil para entender consistência:
Relação massa → peso: peso = massa \times g. Em Inglês absoluto, um slug é unidade de massa tal que 1\\ \text{slug}\times 1\\ \mathrm{ft/s^2}=1\\ \mathrm{lbf}. Aceleração da gravidade em SI é g=9,80665\\ \mathrm{m/s^2} (equivalente a 32,17405\\ \mathrm{ft/s^2}).
  1. Converter massa específica 1\\ \dfrac{\text{slug}}{\mathrm{ft}^3} para \dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}:
1\\ \frac{\text{slug}}{\mathrm{ft}^3} = \frac{14,594\\ \mathrm{kg}}{0,028316846592\\ \mathrm{m}^3} \approx 515,379\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}.
  1. Converter isso em peso específico no SI multiplicando por g:
\gamma = \rho\, g \approx 515,379\cdot 9,80665\\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^3} \approx 5054,10\\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^3}.
  1. Agora checar relação com lbf/ft^3: em unidades inglesas
1\\ \frac{\text{slug}}{\mathrm{ft}^3}\times g\\ (\text{em ft/s}^2)=1\\ \frac{\text{slug}}{\mathrm{ft}^3}\cdot 32,17405\\ \frac{\mathrm{ft}}{\mathrm{s}^2} \approx 32,17405\\ \frac{\mathrm{lbf}}{\mathrm{ft}^3}.
Convertendo 32,17405\\ \dfrac{\mathrm{lbf}}{\mathrm{ft}^3} para \dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^3} usando o fator do Passo 3:
32,17405\times 157,087\\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^3}\approx 5054,10\\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^3}.
Resultado consistente com a via direta. Isso confirma que os fatores usados são coerentes entre si.

Passo 5

Exemplo prático (para fixar): peso específico da água frequentemente citado como 62,4\\ \dfrac{\mathrm{lbf}}{\mathrm{ft}^3}. Convertendo com o fator do Passo 3:
62,4\\ \frac{\mathrm{lbf}}{\mathrm{ft}^3}\times 157,087\\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^3\!/\!(\mathrm{lbf}/\mathrm{ft}^3)} \approx 9802,2\\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^3}.
Isso fica muito próximo de \rho_{\mathrm{água}}\;g\approx 1000\cdot 9,80665=9806,65\\ \dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^3}á; pequenas diferenças vêm de arredondamentos e de valores convencionais usados para 62,4 e para a conversão 1\\ \mathrm{lbf}=4,4482\\ \mathrm{N}.

Resposta

1\\ \dfrac{\mathrm{lbf}}{\mathrm{ft}^3}\approx 157,087\\ \dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^3}
1\\ \dfrac{\text{slug}}{\mathrm{ft}^3} (como peso específico, isto é \rho g) \approx 5054,10\\ \dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^3}

Exercícios relacionados