Verifique se
não ambos nulos
é um subgrupo do grupo multiplicativo
.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pede para verificar se
é um subgrupo do grupo multiplicativo
(ou seja, do grupo
).
Informações que temos:
Informações que temos:
- Cada elemento de
é um número real da forma com e não ambos zero (portanto nenhum elemento de é o número ). - Queremos checar se
é fechado pela multiplicação e pela operação de inverso (e contém a identidade), pois isso garante ser subgrupo.
Passo 2
Lembrete didático: para um subconjunto
de um grupo multiplicativo
ser subgrupo basta verificar três propriedades (versão prática):
-
(contém a identidade multiplicativa), - Se
então (fechado pela multiplicação), - Se
então (fechado por inversos).
Vou checar essas três propriedades para
. Explico cada passo com calma para você poder reproduzir numa prova.
Passo 3
Identidade: o elemento
de
é
. Aqui
e
são racionais e não são ambos nulos (o par é
). Portanto
. Logo
não é vazio e contém a identidade.
Passo 4
Fechamento pela multiplicação: tome
com
e pares não ambos nulos. Multiplicando:
Explicando: usamos
e distribuímos normalmente. Agora:
-
e são somas e produtos de números racionais, portanto são racionais. Logo tem a forma com . - Precisamos ainda garantir que
, porque o zero não pertence a . Mas em o produto de dois números é zero somente se algum dos fatores for zero. Como e pertencem a , nenhum deles é zero (pela definição), logo . Assim os coeficientes não são ambos zero.
Portanto. Concluímos que é fechado pela multiplicação.
Passo 5
Fechamento por inversos: tome
. Queremos mostrar que
. Usamos o truque do conjugado (é uma técnica padrão para inverter números da forma
):
Calcule o produto com o conjugado
:
Assim, se
então
Agora explico por que
. Se
então
. Se
então
, o que é proibido porque não ambos são nulos; portanto
. Dividindo por
obteríamos
, isto é
. Mas
seria racional enquanto
é irracional, impossibilidade. Logo
.
Então a expressão do inverso está bem definida. Escrevendo em forma padrão:
Aqui
e
são racionais (razão de racionais com denominador racional não nulo). Além disso esses dois coeficientes não são ambos zero (pois isso implicaria numeradores nulos ao mesmo tempo, o que forçaria
, impossível). Portanto
.
Passo 6
Como
,
é fechado pela multiplicação e fechado por inversos, concluímos que
é um subgrupo de
. (Se quiser decorar um nome:
é exatamente o grupo multiplicativo dos elementos não nulos de
dentro de
, mas isso é só uma observação extra.)
Resposta
Sim,
é um subgrupo de
.