Verifique se S=\{a+b \sqrt{3} \mid a, b \in \mathbb{Q} não ambos nulos \} é um subgrupo do grupo multiplicativo \mathbb{R}^{*}.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
S=\{a+b\sqrt{3}\mid a,b\in\mathbb{Q}\text{ não ambos nulos}\}ã
e pede para verificar se S é um subgrupo do grupo multiplicativo \mathbb{R}^{*} (ou seja, do grupo (\mathbb{R}\setminus\{0\},\cdot)).
Informações que temos:
  • Cada elemento de S é um número real da forma a+b\sqrt{3} com a,b\in\mathbb{Q} e não ambos zero (portanto nenhum elemento de S é o número 0).
  • Queremos checar se S é fechado pela multiplicação e pela operação de inverso (e contém a identidade), pois isso garante ser subgrupo.

Passo 2

Lembrete didático: para um subconjunto H de um grupo multiplicativo G ser subgrupo basta verificar três propriedades (versão prática):
  1. 1\in H (contém a identidade multiplicativa),
  2. Se x,y\in H então xy\in H (fechado pela multiplicação),
  3. Se x\in H então x^{-1}\in H (fechado por inversos).
Vou checar essas três propriedades para S. Explico cada passo com calma para você poder reproduzir numa prova.

Passo 3

Identidade: o elemento 1 de \mathbb{R}^{*} é 1=1+0\sqrt{3}. Aqui 1 e 0 são racionais e não são ambos nulos (o par é (a,b)=(1,0)). Portanto 1\in S. Logo S não é vazio e contém a identidade.

Passo 4

Fechamento pela multiplicação: tome
x=a+b\sqrt{3}\in S,\qquad y=c+d\sqrt{3}\in S,
com a,b,c,d\in\mathbb{Q} e pares não ambos nulos. Multiplicando:
xy=(a+b\sqrt{3})(c+d\sqrt{3})=(ac+3bd)+(ad+bc)\sqrt{3}.
Explicando: usamos \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3 e distribuímos normalmente. Agora:
  • ac+3bd e ad+bc são somas e produtos de números racionais, portanto são racionais. Logo xy tem a forma \alpha+\beta\sqrt{3} com \alpha,\beta\in\mathbb{Q}.
  • Precisamos ainda garantir que xy\neq 0, porque o zero não pertence a S. Mas em \mathbb{R} o produto de dois números é zero somente se algum dos fatores for zero. Como x e y pertencem a S, nenhum deles é zero (pela definição), logo xy\neq 0. Assim os coeficientes \alpha,\beta não são ambos zero.
    Portanto xy\in S. Concluímos que S é fechado pela multiplicação.

Passo 5

Fechamento por inversos: tome x=a+b\sqrt{3}\in S. Queremos mostrar que x^{-1}\in S. Usamos o truque do conjugado (é uma técnica padrão para inverter números da forma a+b\sqrt{d}):
Calcule o produto com o conjugado a-b\sqrt{3}:
(a+b\sqrt{3})(a-b\sqrt{3})=a^{2}-3b^{2}.
Assim, se a^{2}-3b^{2}\neq 0 então
x^{-1}=\frac{1}{a+b\sqrt{3}}=\frac{a-b\sqrt{3}}{a^{2}-3b^{2}}.
Agora explico por que a^{2}-3b^{2}\neq 0. Se a^{2}-3b^{2}=0 então a^{2}=3b^{2}. Se b=0 então a=0, o que é proibido porque não ambos são nulos; portanto b\neq 0. Dividindo por b^{2} obteríamos (a/b)^{2}=3, isto é a/b=\pm\sqrt{3}. Mas a/b seria racional enquanto \pm\sqrt{3} é irracional, impossibilidade. Logo a^{2}-3b^{2}\neq 0.
Então a expressão do inverso está bem definida. Escrevendo em forma padrão:
x^{-1}=\frac{a}{a^{2}-3b^{2}}+\frac{-b}{a^{2}-3b^{2}}\sqrt{3}.
Aqui \dfrac{a}{a^{2}-3b^{2}} e \dfrac{-b}{a^{2}-3b^{2}} são racionais (razão de racionais com denominador racional não nulo). Além disso esses dois coeficientes não são ambos zero (pois isso implicaria numeradores nulos ao mesmo tempo, o que forçaria a=b=0, impossível). Portanto x^{-1}\in S.

Passo 6

Como 1\in S, S é fechado pela multiplicação e fechado por inversos, concluímos que S é um subgrupo de \mathbb{R}^{*}. (Se quiser decorar um nome: S é exatamente o grupo multiplicativo dos elementos não nulos de \mathbb{Q}(\sqrt{3}) dentro de \mathbb{R}, mas isso é só uma observação extra.)

Resposta

Sim, S é um subgrupo de \mathbb{R}^{*}.

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