Quais dos seguintes subconjuntos de mathbb{Z}_{7}^{*} são subgrupos deste grupo (relativo à operação de multiplicação)?
T=\{\overline{1}, \overline{3}, \overline{4}, \overline{6}\}

Passo 1

O enunciado dá o grupo multiplicativo dos invertíveis módulo 7, que é \mathbb{Z}_{7}^{*}, e o subconjunto
T=\{\overline{1},\;\overline{3},\;\overline{4},\;\overline{6}\}.
A pergunta é: esse subconjunto T é um subgrupo de \mathbb{Z}_{7}^{*} relativamente à multiplicação (módulo 7)?
Informações relevantes que o enunciado fornece ou que precisamos usar:
  • Os elementos de \mathbb{Z}_{7}^{*} são \{\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{5},\overline{6}\}. Portanto |\mathbb{Z}_{7}^{*}|=6.
  • O subconjunto dado tem |T|=4.
  • Para verificar se T é subgrupo podemos usar propriedades de subgrupos (fechamento, identidade, inversos) ou usar o teorema de Lagrange (ordem de um subgrupo divide a ordem do grupo).

Passo 2

Explicação didática das condições para ser subgrupo (sem pular etapas):
  • Uma forma prática de testar se T é subgrupo é checar:
    1. T não é vazio e contém o elemento identidade do grupo. (No nosso caso a identidade multiplicativa é \overline{1}.)
    2. Fechamento: para quaisquer a,b\in T, o produto a\cdot b (feito em \mathbb{Z}_7) deve pertencer a T.
    3. Inversos: para cada a\in T, o inverso multiplicativo a^{-1} (em \mathbb{Z}_7) deve estar em T.
  • Observação: a associatividade já vale porque é herdada do grupo inteiro \mathbb{Z}_{7}^{*}; não precisamos checar isso de novo.
  • Outra ferramenta muito útil é o Teorema de Lagrange (versão simples): se H é um subgrupo finito de um grupo finito G, então o número de elementos de H divide o número de elementos de G. Em símbolos: se H\le G então |H| divide |G|.
    • Aqui |G|=6. Logo qualquer subgrupo de \mathbb{Z}_7^* deve ter ordem 1, 2, 3 ou 6 (os divisores de 6) — nunca 4.

Passo 3

Aplicando Lagrange ao nosso caso:
  • Temos |T|=4.
  • Pelo Teorema de Lagrange, se T fosse subgrupo deveria acontecer que 4 divide 6.
  • Mas 4 não divide 6.
  • Conclusão imediata: isso já mostra que T NÃO pode ser subgrupo de \mathbb{Z}_7^{*}.

Passo 4

Para reforçar e dar um contraexemplo concreto (útil na prova quando não lembrar Lagrange), vamos testar a propriedade de fechamento/inversos com cálculos modulares:
  • Calcular um produto de elementos de T: \overline{3}\cdot\overline{3}=\overline{9}=\overline{2}e \overline{2}\notin T (pois T tem apenas \overline{1},\overline{3},\overline{4},\overline{6}).
    Portanto T não é fechado sob multiplicação — isso já basta para concluir que não é subgrupo.
  • Checando inversos também há falha: \overline{3}^{-1}=\overline{5}\quad\text{(pois }\overline{3}\cdot\overline{5}=\overline{15}=\overline{1}\text{)},e \overline{5}\notin T. Logo nem todo elemento de T tem seu inverso em T.

Resposta

T não é subgrupo de \mathbb{Z}_{7}^{*}.

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