Quais dos seguintes subconjuntos de
são subgrupos deste grupo (relativo à operação de multiplicação)?
Passo 1
O enunciado dá o grupo multiplicativo dos invertíveis módulo 7, que é
, e o subconjunto
A pergunta é: esse subconjunto
é um subgrupo de
relativamente à multiplicação (módulo 7)?
Informações relevantes que o enunciado fornece ou que precisamos usar:
Informações relevantes que o enunciado fornece ou que precisamos usar:
- Os elementos de
são . Portanto . - O subconjunto dado tem
. - Para verificar se
é subgrupo podemos usar propriedades de subgrupos (fechamento, identidade, inversos) ou usar o teorema de Lagrange (ordem de um subgrupo divide a ordem do grupo).
Passo 2
Explicação didática das condições para ser subgrupo (sem pular etapas):
- Uma forma prática de testar se
é subgrupo é checar: -
não é vazio e contém o elemento identidade do grupo. (No nosso caso a identidade multiplicativa é .) - Fechamento: para quaisquer
, o produto (feito em ) deve pertencer a . - Inversos: para cada
, o inverso multiplicativo (em ) deve estar em .
-
- Observação: a associatividade já vale porque é herdada do grupo inteiro
; não precisamos checar isso de novo. - Outra ferramenta muito útil é o Teorema de Lagrange (versão simples): se
é um subgrupo finito de um grupo finito , então o número de elementos de divide o número de elementos de . Em símbolos: se então divide . - Aqui
. Logo qualquer subgrupo de deve ter ordem , , ou (os divisores de ) — nunca .
- Aqui
Passo 3
Aplicando Lagrange ao nosso caso:
- Temos
. - Pelo Teorema de Lagrange, se
fosse subgrupo deveria acontecer que divide . - Mas
não divide . - Conclusão imediata: isso já mostra que
NÃO pode ser subgrupo de .
Passo 4
Para reforçar e dar um contraexemplo concreto (útil na prova quando não lembrar Lagrange), vamos testar a propriedade de fechamento/inversos com cálculos modulares:
- Calcular um produto de elementos de
: e (pois tem apenas ).
Portantonão é fechado sob multiplicação — isso já basta para concluir que não é subgrupo. - Checando inversos também há falha:
e . Logo nem todo elemento de tem seu inverso em .