Verifique se são convergentes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos é verificar se a série infinita
converge ou não. Para resolver isso, vamos usar testes de convergência de séries, especificamente o Teste da Série p e o Teste da Comparação. Precisamos comparar a nossa série com uma série conhecida para determinar seu comportamento.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da série. A série que temos é:
Podemos reescrever o denominador usando exponentes fracionários:
Então, a série fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento do termo geral da série conforme
cresce. Para grandes valores de
, o termo
é aproximadamente igual a
, já que o 3 se torna insignificante. Então podemos simplificar a expressão:
Isso nos leva a considerar a série comparativa:
Passo 4
Conhecemos o Teste da Série p, que diz que a série
converge se
e diverge se
. No nosso caso,
, que é menor que 1. Portanto, a série comparativa
diverge.
Passo 5
Como a nossa série original
tem termos maiores ou iguais aos da série comparativa que divergente
, podemos aplicar o Teste da Comparação. Se a série comparativa diverge e a nossa série original tem termos maiores ou iguais, então a nossa série também diverge.
Resposta
A série
não converge; ou seja, a série diverge.