Verifique se são convergentes: sumn=1^+infty 1raiz[3]n^2+3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é verificar se a série infinita converge ou não. Para resolver isso, vamos usar testes de convergência de séries, especificamente o Teste da Série p e o Teste da Comparação. Precisamos comparar a nossa série com uma série conhecida para determinar seu comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da série. A série que temos é:
sumn=1^+infty 1raiz[3]n^2+3
Podemos reescrever o denominador usando exponentes fracionários:
raiz[3]n^2+3 = (n^2 + 3)^13
Então, a série fica:
sumn=1^+infty 1(n^2 + 3)^13

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento do termo geral da série conforme 1(n^2 + 3)^13 approx 1n^23 cresce. Para grandes valores de sumn=1^+infty 1n^23 , o termo é aproximadamente igual a , já que o 3 se torna insignificante. Então podemos simplificar a expressão:
Isso nos leva a considerar a série comparativa:

Passo 4

Conhecemos o Teste da Série p, que diz que a série converge se e diverge se . No nosso caso, , que é menor que 1. Portanto, a série comparativa diverge.

Passo 5

Como a nossa série original tem termos maiores ou iguais aos da série comparativa que divergente , podemos aplicar o Teste da Comparação. Se a série comparativa diverge e a nossa série original tem termos maiores ou iguais, então a nossa série também diverge.

Resposta

A série não converge; ou seja, a série diverge.

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