Nos Problemas 9 a 12, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial
com a condição inicial
. Isso aí faz parte das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver isso, a gente vai precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação na forma padrão:
, onde
e
. Isso ajuda a gente a aplicar o método certo.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante. Ele é dado por
. Como
, temos:
Passo 4
A gente multiplica toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica a equação para uma forma que pode ser integrada facilmente.
Passo 5
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
. Então podemos escrever:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Passo 6
Isolando
, temos:
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar a constante
:
Como
, então:
Resposta
A solução da equação diferencial é: