Se sumn=1^+infty an=S neq 0, mostre que
sumn=1^+infty(an+an+1)=2 S-a1

Passo 1

Vamos lá! A gente tem uma série infinita e precisa mostrar que . Isso envolve trabalhar com somas de séries e entender como elas se comportam quando a gente adiciona termos consecutivos. Vamos precisar usar propriedades das séries infinitas e manipular os índices das somas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a soma sumn=1^+infty (an + an+1) = sumn=1^+infty an + sumn=1^+infty an+1 em duas somas individuais. Isso é possível porque a soma é linear, ou seja, podemos somar termo a termo:

Passo 3

A gente já sabe que sumn=1^+infty an+1 = summ=2^+infty am . Agora, vamos avaliar summ=2^+infty am = S - a1 . Para isso, vamos fazer uma troca de índice. Se deixarmos , então quando , , e a soma passa a ser:
Isso é igual a menos o primeiro termo :

Passo 4

Agora, substituímos de volta na expressão original:
sumn=1^+infty (an + an+1) = S + (S - a1) = 2S - a1

Resposta

sumn=1^+infty (an + an+1) = 2S - a1

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