Se
, mostre que
Passo 1
Vamos lá! A gente tem uma série infinita
e precisa mostrar que
. Isso envolve trabalhar com somas de séries e entender como elas se comportam quando a gente adiciona termos consecutivos. Vamos precisar usar propriedades das séries infinitas e manipular os índices das somas.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a soma
em duas somas individuais. Isso é possível porque a soma é linear, ou seja, podemos somar termo a termo:
Passo 3
A gente já sabe que
. Agora, vamos avaliar
. Para isso, vamos fazer uma troca de índice. Se deixarmos
, então quando
,
, e a soma passa a ser:
Isso é igual a
menos o primeiro termo
:
Passo 4
Agora, substituímos de volta na expressão original: