Verifique se são L.D ou L.I cada sequência (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) de vetores abaixo.
\vec{u}=(3,1,-2), \vec{v}=(-1,-1,-1), \vec{w}=(0,2,0)

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos se a sequência de vetores (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) é linearmente dependente (L.D.) ou linearmente independente (L.I.).
Dados fornecidos:
\vec{u}=(3,1,-2),\qquad \vec{v}=(-1,-1,-1),\qquad \vec{w}=(0,2,0).

Passo 2

O que significa ser L.I. ou L.D.? Vou explicar de um jeito direto e prático: consideramos a combinação linear
\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w}=\vec{0},
onde \alpha,\beta,\gamma são escalares reais.
  • Se a única solução for \alpha=\beta=\gamma=0 (a solução trivial), dizemos que os vetores são linearmente independentes (L.I.).
  • Se existir alguma solução com pelo menos um coeficiente diferente de zero (solução não trivial), os vetores são linearmente dependentes (L.D.).
Uma forma prática de testar isso quando temos três vetores em \mathbb{R}^3 é montar a matriz 3×3 com esses vetores como colunas e calcular o determinante: se o determinante for diferente de zero, as colunas (os vetores) são L.I.; se o determinante for zero, são L.D. Vou usar esse método porque é direto e rápido aqui.

Passo 3

Formo a matriz A cujas colunas são \vec{u},\vec{v},\vec{w}:
A=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 0\\[4pt] 1 & -1 & 2\\[4pt] -2 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
Explicando: cada coluna é um dos vetores. A ideia intuitiva é que o determinante dessa matriz mede (em valor absoluto) o volume do paralelepípedo formado por esses três vetores; se o volume for zero, os vetores estão no mesmo plano ou reta (L.D.); se for diferente de zero, formam um “sólido” com volume não nulo (L.I.).]

Passo 4

Vou calcular \det(A). Note que a terceira coluna tem entradas (0,2,0), com zeros nas linhas 1 e 3, então é conveniente expandir o determinante por essa coluna (reduz cálculo):
O elemento a_{1,3}=0 contribui com zero. O elemento a_{2,3}=2 tem cofator com sinal (-1)^{2+3}=-1. O elemento a_{3,3}=0 contribui com zero. Assim
\det(A)=0\cdot(\cdots)+2\cdot(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]-2 & -1\end{pmatrix}+0\cdot(\cdots).
Agora calculo o determinante do menor 2\times2:
\det\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]-2 & -1\end{pmatrix}=3\cdot(-1)-(-1)\cdot(-2)=-3-2=-5.
Substituindo:
\det(A)=2\cdot(-1)\cdot(-5)=2\cdot5=10.]

Passo 5

Interpretando o resultado: \det(A)=10\neq 0. Pelo critério do determinante para matrizes 3\times3, isso significa que as colunas da matriz A (ou seja, \vec{u},\vec{v},\vec{w}) são linearmente independentes. Em linguagem mais intuitiva: os três vetores não ficam todos num mesmo plano ou reta; eles geram um paralelepípedo de volume não nulo.

Passo 6

Só para fechar bem o raciocínio e mostrar a ligação com a definição original: se quiséssemos resolver diretamente
\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w}=\vec{0},
isso daria o sistema linear (componentes)
\begin{cases} 3\alpha- \beta +0\gamma=0,\\[4pt] \alpha- \beta +2\gamma=0,\\[4pt] -2\alpha- \beta +0\gamma=0. \end{cases}
Como a matriz dos coeficientes é exatamente A e \det(A)\neq0, o sistema homogêneo tem apenas a solução trivial \alpha=\beta=\gamma=0, confirmando a independência linear.]

Passo 7

Resumo final e incentivo: fizemos o teste com determinante (aproveitando os zeros para simplificar a conta) e obtivemos \det(A)=10. Portanto, os vetores não admitem combinação linear não-trivial que dê zero — ou seja, são L.I… Mandou bem por trazer essa questão; com pouco cálculo já dá pra decidir, e você consegue fazer isso numa prova também!

Resposta

Os vetores \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} são linearmente independentes.

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