Verifique se são L.D ou L.I cada sequência
de vetores abaixo.
Passo 1
O enunciado dá três vetores e pede para verificar se a sequência
) é linearmente dependente (L.D.) ou linearmente independente (L.I.).
Dados: ,
,
.
Pergunta: a sequência ) é L.D. ou L.I.?
Dados:
Pergunta: a sequência
Passo 2
Conceito importante (explicado devagar): uma sequência de vetores
) é linearmente independente se a única solução do sistema
é
. Se existir alguma solução com pelo menos um coeficiente diferente de zero (solução não-trivial), então os vetores são linearmente dependentes. Aqui
são escalares desconhecidos que queremos determinar.
Passo 3
Método escolhido (o mais direto e elementar): escrever a combinação linear igual a
e resolver o sistema de equações para
. Esse método é básico e suficiente para três vetores em
.
Passo 4
Escrevemos a equação da combinação linear e traduzimos componente a componente em um sistema:
Com os vetores dados isso vira, componente a componente:
Passo 5
Simplificando cada equação obtemos o sistema linear:
Passo 6
Resolvendo passo a passo: da primeira equação temos
Substituímos
na segunda equação:
Isso dá
portanto
Passo 7
Verificamos a terceira equação para consistência: substituindo
e
em
temos
que é verdade — ou seja, a terceira não traz contradição, e o sistema tem soluções com um parâmetro livre
.
Passo 8
Conclusão das contas: as soluções são todas as tuplas da forma
ou seja, existe uma família infinita de soluções não-triviais (por exemplo, escolhendo
obtemos
). A existência de solução não-trivial implica que os vetores são linearmente dependentes.
Passo 9
Exibindo uma relação linear explícita (útil para entender na prova): tomando
obtemos
isto é
Podemos verificar diretamente:
.
Resposta
L.D.