Verifique se são L.D ou L.I cada sequência (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) de vetores abaixo.
\vec{u}=(1,2,3), \vec{v}=(0,2,3), \vec{w}=(1,4,6)

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede para verificar se a sequência \big(\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é linearmente dependente (L.D.) ou linearmente independente (L.I.).
Dados: \vec{u}=(1,2,3), \vec{v}=(0,2,3), \vec{w}=(1,4,6).
Pergunta: a sequência \big(\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é L.D. ou L.I.?

Passo 2

Conceito importante (explicado devagar): uma sequência de vetores \big(\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é linearmente independente se a única solução do sistema
\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w}=\vec{0}
é \alpha=0,\beta=0,\gamma=0. Se existir alguma solução com pelo menos um coeficiente diferente de zero (solução não-trivial), então os vetores são linearmente dependentes. Aqui \alpha,\beta,\gamma são escalares desconhecidos que queremos determinar.

Passo 3

Método escolhido (o mais direto e elementar): escrever a combinação linear igual a \vec{0} e resolver o sistema de equações para \alpha,\beta,\gamma. Esse método é básico e suficiente para três vetores em \mathbb{R}^3.

Passo 4

Escrevemos a equação da combinação linear e traduzimos componente a componente em um sistema:
\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w}=\vec{0}
Com os vetores dados isso vira, componente a componente:
\alpha\cdot(1)+\beta\cdot(0)+\gamma\cdot(1)=0
\alpha\cdot(2)+\beta\cdot(2)+\gamma\cdot(4)=0
\alpha\cdot(3)+\beta\cdot(3)+\gamma\cdot(6)=0

Passo 5

Simplificando cada equação obtemos o sistema linear:
\alpha+\gamma=0
2\alpha+2\beta+4\gamma=0
3\alpha+3\beta+6\gamma=0

Passo 6

Resolvendo passo a passo: da primeira equação temos
\alpha=-\gamma.
Substituímos \alpha=-\gamma na segunda equação:
2(-\gamma)+2\beta+4\gamma=0.
Isso dá
-2\gamma+2\beta+4\gamma=0,
2\beta+2\gamma=0,
\beta+\gamma=0,
portanto
\beta=-\gamma.

Passo 7

Verificamos a terceira equação para consistência: substituindo \alpha=-\gamma e \beta=-\gamma em
3\alpha+3\beta+6\gamma=0
temos
3(-\gamma)+3(-\gamma)+6\gamma=0,
-3\gamma-3\gamma+6\gamma=0,
0=0,
que é verdade — ou seja, a terceira não traz contradição, e o sistema tem soluções com um parâmetro livre \gamma.

Passo 8

Conclusão das contas: as soluções são todas as tuplas da forma
(\alpha,\beta,\gamma)=(-\gamma,-\gamma,\gamma),
ou seja, existe uma família infinita de soluções não-triviais (por exemplo, escolhendo \gamma=1 obtemos \alpha=-1,\beta=-1,\gamma=1). A existência de solução não-trivial implica que os vetores são linearmente dependentes.

Passo 9

Exibindo uma relação linear explícita (útil para entender na prova): tomando \gamma=1 obtemos
-1\cdot\vec{u}+(-1)\cdot\vec{v}+1\cdot\vec{w}=\vec{0},
isto é
\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}.
Podemos verificar diretamente: \vec{u}+\vec{v}=(1+0,\,2+2,\,3+3)=(1,4,6)=\vec{w}.

Resposta

L.D.

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