Seja E=\left(\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right) uma base orotonormal. Calcule \|\vec{u}\|, onde: \vec{u}=(-1,3,5)_{E}
Passo 1
O enunciado dá que E=\left(\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right) é uma base ortonormal e pede para calcular \|\vec{u}\|, onde \vec{u}=(-1,3,5)_{E}.\n
Informações relevantes:
As coordenadas de \vec{u} na base E são -1, 3 e 5.
A base E é ortonormal (isto é um dado importante e será usado).
Passo 2
O que significa “base ortonormal”? Vou explicar devagar e com calma.\n
Uma base E é ortonormal quando seus vetores satisfazem duas propriedades:
Cada vetor tem norma 1: \|\overrightarrow{e_i}\|=1.
Vetores distintos são ortogonais: \langle \overrightarrow{e_i},\overrightarrow{e_j}\rangle=0 para i\neq j.\n
Isso pode ser resumido pela igualdade
onde \delta_{ij} é 1 se i=j e 0 se i\neq j.\n
Consequência prática (a mais útil agora): se \vec{u}=(a,b,c)_E numa base ortonormal, então a norma de \vec{u} satisfaz
Ou seja, basta somar os quadrados das coordenadas e tirar raiz quadrada. Isso vem da bilinearidade do produto interno e do fato de os \overrightarrow{e_i} serem ortonormais.
Agora aplicamos a fórmula da norma ao quadrado para base ortonormal:
\|\vec{u}\|^2 = (-1)^2 + 3^2 + 5^2.
Calculemos passo a passo:
(-1)^2 = 1,\qquad 3^2 = 9,\qquad 5^2 = 25.
Somando:
1 + 9 + 25 = 35.
Portanto \|\vec{u}\|^2 = 35.
Passo 5
Para obter a norma, tiramos a raiz quadrada:
\|\vec{u}\| = \sqrt{35}.
(Dica rápida: \sqrt{35} não é um quadrado perfeito, então a forma exata mais simples é \sqrt{35}. Se precisasse de aproximação numérica, \sqrt{35}\approx 5,916.)