Verifique que y_{1}=x^{3} e y_{2}=k t^{3} são linearmente independentes da equação diferencial x^{2} y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+6 y=0 \mathrm{em}(-\infty, \infty).

Passo 1

O enunciado dá as funções y_{1}=x^{3} e y_{2}=k\,t^{3} e a equação diferencial
x^{2}y''-4x y'+6y=0
no intervalo (-\infty,\infty). Pede-se verificar que y_{1} e y_{2} são linearmente independentes.\n
Observação importante sobre uma ambiguidade do enunciado: a função y_{2} foi escrita com a variável t; vou interpretar t como a mesma variável independente x (ou seja, y_{2}=k x^{3}). Também não é informado se k é constante ou função de x. Aqui vou assumir que k é uma constante (caso mais natural quando se escreve k). Se você pretendia outra interpretação, me avise depois; por enquanto continuo com y_{2}=k x^{3} e k constante. \n
O que precisamos verificar: dois passos principais — (i) que ambas as funções são soluções da equação dada e (ii) que são linearmente independentes (ou não) segundo a definição adequada.

Passo 2

Verificar que y_{1}=x^{3} é solução da equação dada.\n
Primeiro calculemos as derivadas de y_{1}:
y_{1}=x^{3},\qquad y_{1}'=3x^{2},\qquad y_{1}''=6x.
Agora substituímos na equação diferencial:
x^{2}y_{1}''-4x y_{1}'+6y_{1}=x^{2}\cdot(6x)-4x\cdot(3x^{2})+6\cdot x^{3}.
Calculemos termo a termo:
x^{2}\cdot(6x)=6x^{3},\qquad -4x\cdot(3x^{2})=-12x^{3},\qquad 6\cdot x^{3}=6x^{3}.
Somando:
6x^{3}-12x^{3}+6x^{3}=0.
Portanto y_{1}=x^{3} satisfaz a equação, ou seja, é solução.

Passo 3

Verificar que y_{2}=k x^{3} (com k constante) é solução.\n
Se k é constante, as derivadas de y_{2} são simplesmente múltiplos das derivadas de x^{3}:
y_{2}=k x^{3},\qquad y_{2}'=k\cdot 3x^{2},\qquad y_{2}''=k\cdot 6x.
Substituindo na equação:
x^{2}y_{2}''-4x y_{2}'+6y_{2}=x^{2}(k\cdot 6x)-4x(k\cdot 3x^{2})+6(k x^{3}).
Fatorando k:
= k\bigl( x^{2}\cdot 6x -4x\cdot 3x^{2} +6x^{3}\bigr) = k\bigl(6x^{3}-12x^{3}+6x^{3}\bigr)=k\cdot 0=0.
Logo y_{2} também é solução. Observação: essa conclusão decorre da linearidade do operador diferencial — se y é solução, então c\,y também é solução para qualquer constante c.

Passo 4

Relembrando a definição prática de independência linear para duas funções: duas funções diferenciáveis y_{1} e y_{2} são linearmente dependentes se existem constantes C_{1},C_{2}, não ambas nulas, tais que
C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)=0\quad\text{para todo }x.
Para duas funções, uma ferramenta prática é o wronskiano. O wronskiano W(y_{1},y_{2})(x) é definido por
W(y_{1},y_{2})(x)= \begin{vmatrix} y_{1}(x) & y_{2}(x)\\[4pt] y_{1}'(x) & y_{2}'(x) \end{vmatrix} = y_{1}(x)\,y_{2}'(x)-y_{2}(x)\,y_{1}'(x).
Propriedade útil: se W é identicamente zero em um intervalo e as funções são suficientemente suaves, então y_{1},y_{2} são linearmente dependentes (para duas funções essa equivalência é direta). Se W não é identicamente zero em algum ponto, então são independentes.]

Passo 5

Calculemos o wronskiano para y_{1}=x^{3} e y_{2}=k x^{3}.\n
Usamos as derivadas já calculadas:
y_{1}=x^{3},\quad y_{1}'=3x^{2};\qquad y_{2}=k x^{3},\quad y_{2}'=k\cdot 3x^{2}.
Agora o wronskiano:
W(y_{1},y_{2})(x)=y_{1}y_{2}'-y_{2}y_{1}' = x^{3}\cdot (k\cdot 3x^{2}) - (k x^{3})\cdot (3x^{2}).
Fatorando os termos:
W(y_{1},y_{2})(x)=3k x^{5} - 3k x^{5}=0.
O wronskiano é identicamente zero em todo o intervalo (-\infty,\infty). Pelo critério do wronskiano (ou simplesmente porque y_{2}=k y_{1}), concluímos que y_{1} e y_{2} são linearmente dependentes quando k é constante.

Passo 6

Interpretação final e comentário amigo: \n
  • Se k for constante diferente de zero, y_{2}=k x^{3} é apenas um múltiplo escalar de y_{1}=x^{3}, então as duas funções são linearmente dependentes (não independentes). \n
  • Se k=0, y_{2} é a função zero e o par também é dependente (trivial). \n
    Se a intenção do enunciado era mostrar independência, provavelmente houve um erro de escrita: as duas soluções fundamentais linearly independentes da equação (como é típico para equação de Euler com raízes distintas r=2,3) são \,x^{2} e \,x^{3}. Esses dois têm wronskiano não-nulo e são independentes. Mas com os y_{1} e y_{2} dados (com k constante) o resultado é dependência.

Resposta

As funções são linearmente dependentes (para k constante), pois y_{2}=k x^{3}=k y_{1} e o wronskiano W(y_{1},y_{2})(x) é identicamente 0.

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