verifique que a dada família a dois parâmetros de funções é a solução geral para a equação diferencial não-homogênea no intervalo indicado.
y^{\prime \prime}-y=\operatorname{sec} x
y=c_{1} \cos x+c_{2} \operatorname{sen} x+x \operatorname{sen} x+(\cos x) \ln (\cos x),(-\pi / 2, \pi / 2)

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a família
y = c_{1}\cos x + c_{2}\sin x + x\sin x + \cos x\ln(\cos x),\quad (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})
é a solução geral da equação diferencial não-homogênea
y''-y=\operatorname{sec} x.
Informações fornecidas:
\begin{cases} \text{equação: } y''-y=\operatorname{sec} x,\\[4pt] \text{família candidata: } y=c_{1}\cos x+c_{2}\sin x+x\sin x+\cos x\ln(\cos x),\\[4pt] \text{intervalo: }(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}). \end{cases}çãí
Tarefa explícita: verificar se essa família realmente satisfaz a equação dada e se é a solução geral (ou seja: contém a solução geral do homogêneo e uma particular).]

Passo 2

Breve lembrete de método (passo a passo do que vamos checar):
  1. Para uma EDO linear de segunda ordem não-homogênea, a solução geral tem a forma
y=y_h+y_p,
onde y_h é a solução geral da equação homogênea associada e y_p é uma solução particular. Para garantir que y_h é solução geral do homogêneo, precisamos de duas soluções linearmente independentes (o Wronskiano não nulo num ponto do intervalo basta).
2. Portanto, vamos:
  • calcular y' e y'' da família proposta,
  • avaliar y''-y e ver se dá \operatorname{sec} x,
  • verificar linear independência das duas primeiras funções \cos x e \sin x,
  • checar que a parte restante x\sin x+\cos x\ln(\cos x) é uma solução particular (se isso ocorrer, então a família é y_h+y_p para a homogênea correta).

Passo 3

Vamos derivar cada parcela da função proposta detalhadamente.
Separamos em quatro parcelas:
y_1 = c_1\cos x,\quad y_2 = c_2\sin x,\quad y_3 = x\sin x,\quad y_4=\cos x\ln(\cos x).
Derivadas:
  • Para y_1:
y_1' = -c_1\sin x,\qquad y_1'' = -c_1\cos x.
  • Para y_2:
y_2' = c_2\cos x,\qquad y_2'' = -c_2\sin x.
  • Para y_3 = x\sin x (usando produto):
y_3' = \sin x + x\cos x,
y_3'' = \cos x + (\cos x - x\sin x) = 2\cos x - x\sin x.
(Detalhe: derivada de x\cos x é \cos x - x\sin x.)
  • Para y_4=\cos x\ln(\cos x) (produto + cadeia):
    Primeiro,
y_4' = (\cos x)'\ln(\cos x) + \cos x\cdot(\ln(\cos x))' = -\sin x\ln(\cos x) + \cos x\cdot\frac{-\sin x}{\cos x}.
Simplificando,
y_4' = -\sin x\ln(\cos x) - \sin x = -\sin x\bigl(\ln(\cos x)+1\bigr).
Agora a segunda derivada:
y_4'' = -\cos x\bigl(\ln(\cos x)+1\bigr) - \sin x\cdot\bigl(\ln(\cos x)+1\bigr)'.
Como (\ln(\cos x))' = -\tan x = -\dfrac{\sin x}{\cos x}, obtemos
y_4'' = -\cos x\bigl(\ln(\cos x)+1\bigr) - \sin x\cdot\bigl(-\tan x\bigr).
Então
y_4'' = -\cos x\ln(\cos x) - \cos x + \frac{\sin^2 x}{\cos x}.
Usando \sin^2 x = 1-\cos^2 x e \dfrac{1-\cos^2 x}{\cos x}=\operatorname{sec} x - \cos x, ficamos com
y_4'' = -\cos x\ln(\cos x) - \cos x + \bigl(\operatorname{sec} x - \cos x\bigr) = \operatorname{sec} x - \cos x\ln(\cos x) - 2\cos x.

Passo 4

Somamos todas as segundas derivadas para obter y''.
\begin{aligned} y'' &= y_1'' + y_2'' + y_3'' + y_4''\\[4pt] &= \bigl(-c_1\cos x\bigr) + \bigl(-c_2\sin x\bigr) + \bigl(2\cos x - x\sin x\bigr) + \bigl(\operatorname{sec} x - \cos x\ln(\cos x) - 2\cos x\bigr). \end{aligned}
Observe que 2\cos x e -2\cos x se cancelam, então
y'' = -c_1\cos x - c_2\sin x - x\sin x + \operatorname{sec} x - \cos x\ln(\cos x).
Agora calculamos y''-y. Lembrando
y = c_1\cos x + c_2\sin x + x\sin x + \cos x\ln(\cos x),
temos
\begin{aligned} y''-y &= \bigl(-c_1\cos - c_2\sin - x\sin + \operatorname{sec} - \cos\ln(\cos)\bigr)\\\ &\quad -\bigl(c_1\cos + c_2\sin + x\sin + \cos\ln(\cos)\bigr). \end{aligned}
Agrupando termos semelhantes:
y''-y = \operatorname{sec} x - 2\bigl(c_1\cos x + c_2\sin x + x\sin x + \cos x\ln(\cos x)\bigr).
Mas a soma entre parênteses é exatamente y. Portanto
\boxed{\,y''-y = \operatorname{sec} x - 2y\,.}]

Passo 5

Interpretação do resultado do passo anterior:
a identidade y''-y=\operatorname{sec} x-2y é equivalente a
y''+y=\operatorname{sec} x.
Portanto a família proposta satisfaz a equação
y''+y=\operatorname{sec} x
sobre o intervalo onde \operatorname{sec} x e \ln(\cos x) estão bem definidos, isto é, em (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}). Em outras palavras, a família não satisfaz y''-y=\operatorname{sec} x (a menos que y\equiv0, o que não é o caso em geral), mas satisfaz a equação com sinal trocado no segundo termo.

Passo 6

Verificação que a família é a solução geral de \,y''+y=\operatorname{sec} x:
  1. As duas primeiras funções \cos x e \sin x são soluções da homogênea associada y''+y=0. Para confirmar que são linearmente independentes calculemos o Wronskiano:
W(\cos x,\sin x)= \begin{vmatrix} \cos x & \sin x\\[4pt] -\sin x & \cos x \end{vmatrix} = \cos^2 x + \sin^2 x = 1\neq 0
em todo o intervalo (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}). Logo elas formam um conjunto fundamental de soluções do homogêneo.
  1. A parte y_p(x)=x\sin x+\cos x\ln(\cos x) é, pelas contas do Passo 3 e 4 (tomando c_1=c_2=0), tal que
y_p''+y_p=\operatorname{sec} x,
portanto é uma solução particular da equação não-homogênea y''+y=\operatorname{sec} x.
Como a solução geral da não-homogênea é y=y_h+y_p com y_h=c_1\cos x+c_2\sin x e y_p particular, concluímos que a família dada é exatamente a solução geral de
y''+y=\operatorname{sec} x\quad\text{em}\;(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}).]

Passo 7

Conclusão final e observação de consistência:
  • A família proposta não satisfaz a equação indicada no enunciado \,y''-y=\operatorname{sec} x (veja equação y''-y=\operatorname{sec} x-2y do Passo 4), logo não é solução geral dessa equação.
  • Em vez disso, a família é a solução geral da equação
y''+y=\operatorname{sec} x
no intervalo (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}), porque:
  • c_1\cos x+c_2\sin x é a solução geral do homogêneo y''+y=0 (funções linearmente independentes, Wronskiano = 1),
  • x\sin x+\cos x\ln(\cos x) é uma solução particular de y''+y=\operatorname{sec} x.
Força aí — você já tem a verificação completa: usando derivadas e o Wronskiano vimos exatamente para qual equação essa família é a solução geral.

Resposta

Não, a família dada não é solução geral de \,y''-y=\operatorname{sec} x.
Ela é, porém, a solução geral de \;y''+y=\operatorname{sec} x\; no intervalo (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}).

Exercícios relacionados