verifique que a dada família a dois parâmetros de funções é a solução geral para a equação diferencial não-homogênea no intervalo indicado. y^{\prime \prime}-y=\operatorname{sec} x y=c_{1} \cos x+c_{2} \operatorname{sen} x+x \operatorname{sen} x+(\cos x) \ln (\cos x),(-\pi / 2, \pi / 2)
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a família
y = c_{1}\cos x + c_{2}\sin x + x\sin x + \cos x\ln(\cos x),\quad (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})
é a solução geral da equação diferencial não-homogênea
Tarefa explícita: verificar se essa família realmente satisfaz a equação dada e se é a solução geral (ou seja: contém a solução geral do homogêneo e uma particular).]
Passo 2
Breve lembrete de método (passo a passo do que vamos checar):
Para uma EDO linear de segunda ordem não-homogênea, a solução geral tem a forma
y=y_h+y_p,
onde y_h é a solução geral da equação homogênea associada e y_p é uma solução particular. Para garantir que y_h é solução geral do homogêneo, precisamos de duas soluções linearmente independentes (o Wronskiano não nulo num ponto do intervalo basta).
2. Portanto, vamos:
calcular y' e y'' da família proposta,
avaliar y''-y e ver se dá \operatorname{sec} x,
verificar linear independência das duas primeiras funções \cos x e \sin x,
checar que a parte restante x\sin x+\cos x\ln(\cos x) é uma solução particular (se isso ocorrer, então a família é y_h+y_p para a homogênea correta).
Passo 3
Vamos derivar cada parcela da função proposta detalhadamente.
y''-y = \operatorname{sec} x - 2\bigl(c_1\cos x + c_2\sin x + x\sin x + \cos x\ln(\cos x)\bigr).
Mas a soma entre parênteses é exatamente y. Portanto
\boxed{\,y''-y = \operatorname{sec} x - 2y\,.}]
Passo 5
Interpretação do resultado do passo anterior:
a identidade y''-y=\operatorname{sec} x-2y é equivalente a
y''+y=\operatorname{sec} x.
Portanto a família proposta satisfaz a equação
y''+y=\operatorname{sec} x
sobre o intervalo onde \operatorname{sec} x e \ln(\cos x) estão bem definidos, isto é, em (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}). Em outras palavras, a família não satisfaz y''-y=\operatorname{sec} x (a menos que y\equiv0, o que não é o caso em geral), mas satisfaz a equação com sinal trocado no segundo termo.
Passo 6
Verificação que a família é a solução geral de \,y''+y=\operatorname{sec} x:
As duas primeiras funções \cos x e \sin x são soluções da homogênea associada y''+y=0. Para confirmar que são linearmente independentes calculemos o Wronskiano:
W(\cos x,\sin x)= \begin{vmatrix} \cos x & \sin x\\[4pt] -\sin x & \cos x \end{vmatrix} = \cos^2 x + \sin^2 x = 1\neq 0
em todo o intervalo (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}). Logo elas formam um conjunto fundamental de soluções do homogêneo.
A parte y_p(x)=x\sin x+\cos x\ln(\cos x) é, pelas contas do Passo 3 e 4 (tomando c_1=c_2=0), tal que
y_p''+y_p=\operatorname{sec} x,
portanto é uma solução particular da equação não-homogênea y''+y=\operatorname{sec} x.
Como a solução geral da não-homogênea é y=y_h+y_p com y_h=c_1\cos x+c_2\sin x e y_p particular, concluímos que a família dada é exatamente a solução geral de
A família proposta não satisfaz a equação indicada no enunciado \,y''-y=\operatorname{sec} x (veja equação y''-y=\operatorname{sec} x-2y do Passo 4), logo não é solução geral dessa equação.
Em vez disso, a família é a solução geral da equação
y''+y=\operatorname{sec} x
no intervalo (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}), porque:
c_1\cos x+c_2\sin x é a solução geral do homogêneo y''+y=0 (funções linearmente independentes, Wronskiano = 1),
x\sin x+\cos x\ln(\cos x) é uma solução particular de y''+y=\operatorname{sec} x.
Força aí — você já tem a verificação completa: usando derivadas e o Wronskiano vimos exatamente para qual equação essa família é a solução geral.
Resposta
Não, a família dada não é solução geral de \,y''-y=\operatorname{sec} x.
Ela é, porém, a solução geral de \;y''+y=\operatorname{sec} x\; no intervalo (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}).