Estabeleça a equação de uma esfera que tenha um diâmetro com pontos terminais dados por
e
:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede: estabelecer a equação da esfera que tem um diâmetro com extremos nos pontos
e
.\n
Dados relevantes fornecidos:
e
.\n
O que se quer: a equação da esfera (no formato canônico de esfera ou na forma polinomial igual a zero).
Dados relevantes fornecidos:
O que se quer: a equação da esfera (no formato canônico de esfera ou na forma polinomial igual a zero).
Passo 2
Conceitos básicos que vamos usar (explicados de forma direta):
- O centro
de uma esfera cuja reta entre dois pontos e é um diâmetro é o ponto médio desses extremos. A fórmula do ponto médio é
Aqui, cada coordenada do centro é a média aritmética das coordenadas correspondentes dos extremos do diâmetro.\n
2) O comprimento do segmento é dado pela fórmula da distância no espaço:
2) O comprimento do segmento
O raio
da esfera é metade dessa distância porque
e
são extremos do diâmetro:\n
- A equação de uma esfera com centro
e raio é
Nessa fórmula,
são as coordenadas variáveis de qualquer ponto da esfera.
Passo 3
Calcular o centro
como o ponto médio de
e
.\n
Aplicando a fórmula do ponto médio:
Aplicando a fórmula do ponto médio:
Portanto
Passo 4
Calcular o raio
. Primeiro, a diferença entre
e
:
O quadrado da distância
é
Logo
e o raio é
Portanto
Passo 5
Escrevendo a equação da esfera na forma centrada com os valores encontrados:
ou seja
Passo 6
Expandir para a forma polinomial (para comparar com as alternativas). Expandindo cada quadrado:
Somando:
Agrupando termos:
Como
, temos
Passando
para o lado esquerdo:
Resposta
(e)