Estabeleça a equação de uma esfera que tenha um diâmetro com pontos terminais dados por (-4,0,3) e
(2,-8,-1) :
(a) x^{2}+y^{2}+z^{2}-6 x+4 y+2 z=0
(b) x^{2}+y^{2}+z^{2}-6 x+4 y+2 z-14=0
(c) x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x+8 y-2 z-47=0
(d) x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x+8 y-2 z-29=0
(e) x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x+8 y-2 z-11=0

Passo 1

O enunciado pede: estabelecer a equação da esfera que tem um diâmetro com extremos nos pontos (-4,0,3) e (2,-8,-1).\n
Dados relevantes fornecidos:
A = (-4,0,3) e B = (2,-8,-1).\n
O que se quer: a equação da esfera (no formato canônico de esfera ou na forma polinomial igual a zero).

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (explicados de forma direta):
  1. O centro C de uma esfera cuja reta entre dois pontos A=(x_1,y_1,z_1) e B=(x_2,y_2,z_2) é um diâmetro é o ponto médio desses extremos. A fórmula do ponto médio é
C=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\;\frac{y_1+y_2}{2},\;\frac{z_1+z_2}{2}\right).
Aqui, cada coordenada do centro é a média aritmética das coordenadas correspondentes dos extremos do diâmetro.\n
2) O comprimento do segmento AB é dado pela fórmula da distância no espaço:
|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.
O raio r da esfera é metade dessa distância porque A e B são extremos do diâmetro:\n
r=\frac{|AB|}{2}.
  1. A equação de uma esfera com centro C=(x_0,y_0,z_0) e raio r é
(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 = r^2.
Nessa fórmula, (x,y,z) são as coordenadas variáveis de qualquer ponto da esfera.

Passo 3

Calcular o centro C como o ponto médio de A e B.\n
Aplicando a fórmula do ponto médio:
x_C=\frac{-4+2}{2}=\frac{-2}{2}=-1,
y_C=\frac{0+(-8)}{2}=\frac{-8}{2}=-4,
z_C=\frac{3+(-1)}{2}=\frac{2}{2}=1.
Portanto
C = (-1,-4,1).

Passo 4

Calcular o raio r. Primeiro, a diferença entre B e A:
B-A = (2-(-4),\;-8-0,\;-1-3) = (6,\;-8,\;-4).
O quadrado da distância AB é
|AB|^2 = 6^2+(-8)^2+(-4)^2 = 36+64+16 = 116.
Logo
|AB| = \sqrt{116} = 2\sqrt{29},
e o raio é
r=\frac{|AB|}{2}=\sqrt{29}.
Portanto
r^2 = 29.

Passo 5

Escrevendo a equação da esfera na forma centrada com os valores encontrados:
(x-(-1))^2+(y-(-4))^2+(z-1)^2 = 29,
ou seja
(x+1)^2+(y+4)^2+(z-1)^2 = 29.

Passo 6

Expandir para a forma polinomial (para comparar com as alternativas). Expandindo cada quadrado:
(x+1)^2 = x^2+2x+1,
(y+4)^2 = y^2+8y+16,
(z-1)^2 = z^2-2z+1.
Somando:
x^2+2x+1 + y^2+8y+16 + z^2-2z+1 = 29.
Agrupando termos:
x^2+y^2+z^2 + 2x + 8y -2z + (1+16+1) = 29.
Como 1+16+1=18, temos
x^2+y^2+z^2 + 2x + 8y -2z + 18 = 29.
Passando 29 para o lado esquerdo:
x^2+y^2+z^2 + 2x + 8y -2z + 18 -29 = 0,
x^2+y^2+z^2 + 2x + 8y -2z -11 = 0.

Resposta

(e) x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x+8 y-2 z-11=0

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