Verifique se são subespaços vetoriais de M_{2 \times 2} :
A=\left\{\left[\begin{array}{ll}a & b \\\\ 0 & c\end{array}\right] ; a, b, c \in \mathbb{R}\right\} (matrizes triangulares superiores)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
A=\left\{\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]0 & c\end{pmatrix};\\ a,b,c\in\mathbb{R}\right\}
é um subespaço vetorial de M_{2\times 2}(\mathbb{R}) (o espaço de todas as matrizes 2\times2 com entradas reais).
Informações dadas:
  • Um elemento genérico de A tem a forma \begin{pmatrix}a & b\\[4pt]0 & c\end{pmatrix} com a,b,c\in\mathbb{R}.
  • O espaço ambiente é M_{2\times2}(\mathbb{R}).
O que é pedido: decidir se A satisfaz as propriedades necessárias para ser um subespaço vetorial (usar definição e verificar).]

Passo 2

Lembrete didático: definição prática de subespaço vetorial.
Um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se:
  1. W contém o vetor zero de V (não está vazio);
  2. W é fechado sob soma: se u,v\in W então u+v\in W;
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se u\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in W.
Explicação breve do porquê: essas três propriedades garantem que W herda as operações de V e, portanto, é um espaço vetorial por si só. Vou verificar cada uma para A.

Passo 3

Verificação da propriedade 1 (vetor zero).
O vetor (matriz) zero em M_{2\times2}(\mathbb{R}) é
0_{2\times2}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Esse é da forma \begin{pmatrix}a & b\\[4pt]0 & c\end{pmatrix} com a=0, b=0, c=0, ou seja, pertence a A. Portanto A não é vazio e contém o zero.]

Passo 4

Verificação da propriedade 2 (fechamento por soma).
Sejam dois elementos arbitrários de A
X=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]0 & c\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad Y=\begin{pmatrix}a' & b'\\[4pt]0 & c'\end{pmatrix},
com a,b,c,a',b',c'\in\mathbb{R}.
A soma X+Y é dada por soma componente a componente; calculamos:
X+Y=\begin{pmatrix}a+a' & b+b'\\[4pt]0+0 & c+c'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a+a' & b+b'\\[4pt]0 & c+c'\end{pmatrix}.
Observe que a entrada na posição (2,1) continua sendo 0. Assim X+Y tem a mesma forma geral \begin{pmatrix}\ast & \ast\\[4pt]0 & \ast\end{pmatrix} com entradas reais, logo X+Y\in A. Isso mostra fechamento por soma.
Exemplo numérico rápido (para fixar): se X=\begin{pmatrix}1&2\\\ 0&3\end{pmatrix} e Y=\begin{pmatrix}-1&5\\\ 0&4\end{pmatrix} então
X+Y=\begin{pmatrix}0&7\\\ 0&7\end{pmatrix}\in A.]

Passo 5

Verificação da propriedade 3 (fechamento por multiplicação escalar).
Seja X=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]0 & c\end{pmatrix}\in A e seja \lambda\in\mathbb{R} um escalar qualquer. Então
\lambda X=\lambda\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]0 & c\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b\\[4pt] \lambda\cdot 0 & \lambda c\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b\\[4pt]0 & \lambda c\end{pmatrix}.
A entrada (2,1) permanece 0, e as outras entradas são números reais. Logo \lambda X tem a forma exigida e pertence a A. Isso mostra fechamento por multiplicação escalar.
Exemplo numérico rápido: com \lambda=2 e X=\begin{pmatrix}1&-1\\\ 0&3\end{pmatrix},
2X=\begin{pmatrix}2&-2\\\ 0&6\end{pmatrix}\in A.]

Passo 6

Resumo das verificações feitas:
  • O zero de M_{2\times2}(\mathbb{R}) está em A.
  • A é fechado sob soma.
  • A é fechado sob multiplicação por escalares.
Estas são exatamente as condições necessárias para que um subconjunto de um espaço vetorial seja subespaço.

Passo 7

(Aula curta adicional — base e dimensão de A.)
Qual é uma base natural de A? Note que qualquer matriz em A pode ser escrita como combinação linear
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]0 & c\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}.
As três matrizes
E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\quad E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\quad E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}
são linearmente independentes e geram A. Portanto formam uma base de A e
\dim(A)=3.]

Resposta

Sim. A é subespaço vetorial de M_{2\times2}(\mathbb{R}).

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