1. Verifique que são verdadeiras as chamadas “propriedades de absorção”: P \wedge(P \vee R) \equiv P e P \vee(P \wedge R) \equiv P.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que são verdadeiras as duas igualdades lógicas (chamadas propriedades de absorção):
  • P \wedge (P \vee R) \equiv P
  • P \vee (P \wedge R) \equiv P
Não há outros dados numéricos; a tarefa é mostrar que, para quaisquer valores de verdade de P e R, cada expressão composta tem exatamente a mesma coluna de valores de verdade que P. Ou seja, provar que cada expressão é logicamente equivalente a P.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o significado dos símbolos usados (explicação didática e sem pulo de etapas).
  • \wedge é o conectivo “E” (AND). A fórmula A \wedge B é verdadeira somente quando A e B são verdadeiros.
  • \vee é o conectivo “OU” (OR) no sentido inclusivo. A fórmula A \vee B é verdadeira se pelo menos uma de A ou B for verdadeira.
  • \equiv significa “equivalente” no sentido lógico: duas fórmulas são equivalentes se, para toda atribuição de valores de verdade às suas variáveis, elas têm o mesmo valor de verdade.
Método escolhido (explicando por que): aqui o modo mais direto e elementar é usar a tabela-verdade com as 4 combinações possíveis de P e R. Isso é básico, fácil de executar sem teoremas sofisticados e perfeito para prova — sempre dá para aplicar rapidamente numa avaliação.

Passo 3

Construindo a tabela-verdade: para duas variáveis proposicionais P e R existem quatro combinações possíveis de valores \text{(Verdadeiro = V, Falso = F)}. Vou listar as quatro linhas e calcular passo a passo as subfórmulas necessárias.

Passo 4

Verificação de \;P \wedge (P \vee R) \equiv P\; por tabela-verdade.
Calculemos as colunas: P, R, P \vee R, P \wedge (P \vee R). Para cada linha:
  1. Se P=\text{V} e R=\text{V}:
    \;P \vee R=\text{V} \vee \text{V}=\text{V}.
    \;P \wedge (P \vee R)=\text{V} \wedge \text{V}=\text{V}.
    Comparando com P: aqui P=\text{V}, então a expressão dá \text{V}, igual a P.
  2. Se P=\text{V} e R=\text{F}:
    \;P \vee R=\text{V} \vee \text{F}=\text{V}.
    \;P \wedge (P \vee R)=\text{V} \wedge \text{V}=\text{V}.
    Comparando com P=\text{V}: a expressão coincide com P.
  3. Se P=\text{F} e R=\text{V}:
    \;P \vee R=\text{F} \vee \text{V}=\text{V}.
    \;P \wedge (P \vee R)=\text{F} \wedge \text{V}=\text{F}.
    Comparando com P=\text{F}: a expressão coincide com P.
  4. Se P=\text{F} e R=\text{F}:
    \;P \vee R=\text{F} \vee \text{F}=\text{F}.
    \;P \wedge (P \vee R)=\text{F} \wedge \text{F}=\text{F}.
    Comparando com P=\text{F}: a expressão coincide com P.
Em todas as quatro linhas a coluna de P \wedge (P \vee R) tem exatamente os mesmos valores que P. Portanto é verdade que
P \wedge (P \vee R) \equiv P.

Passo 5

Agora verificação de \;P \vee (P \wedge R) \equiv P\; por tabela-verdade.
Calculemos as colunas: P, R, P \wedge R, P \vee (P \wedge R). Para cada linha:
  1. Se P=\text{V} e R=\text{V}:
    \;P \wedge R=\text{V} \wedge \text{V}=\text{V}.
    \;P \vee (P \wedge R)=\text{V} \vee \text{V}=\text{V}.
    Comparando com P=\text{V}: coincide.
  2. Se P=\text{V} e R=\text{F}:
    \;P \wedge R=\text{V} \wedge \text{F}=\text{F}.
    \;P \vee (P \wedge R)=\text{V} \vee \text{F}=\text{V}.
    Comparando com P=\text{V}: coincide.
  3. Se P=\text{F} e R=\text{V}:
    \;P \wedge R=\text{F} \wedge \text{V}=\text{F}.
    \;P \vee (P \wedge R)=\text{F} \vee \text{F}=\text{F}.
    Comparando com P=\text{F}: coincide.
  4. Se P=\text{F} e R=\text{F}:
    \;P \wedge R=\text{F} \wedge \text{F}=\text{F}.
    \;P \vee (P \wedge R)=\text{F} \vee \text{F}=\text{F}.
    Comparando com P=\text{F}: coincide.
Em todas as quatro linhas a coluna de P \vee (P \wedge R) tem exatamente os mesmos valores que P. Portanto é verdade que
P \vee (P \wedge R) \equiv P.

Passo 6

Complemento: prova algébrica curta (útil para prova na folha, quando já se aceitam leis básicas como distributividade e idempotência).
Mostramos antes por tabela que \;P \wedge (P \vee R) \equiv P. Agora, para a segunda igualdade, aplicar a lei distributiva de \vee sobre \wedge:
P \vee (P \wedge R) \equiv (P \vee P) \wedge (P \vee R).
Pela idempotência de \vee temos (P \vee P) \equiv P, então
P \vee (P \wedge R) \equiv P \wedge (P \vee R).
Como já provamos (pela tabela) que P \wedge (P \vee R) \equiv P, segue que
P \vee (P \wedge R) \equiv P.
Esse raciocínio algebraico é curto e prático em prova: primeiro pode-se justificar uma das igualdades por tabela ou por observação, e usar leis padrão (distributiva, idempotência) para obter a outra.

Passo 7

Recapitulando de forma motivadora: a tabela-verdade é uma ferramenta simples e infalível — faça ela quando estiver em dúvida na prova. A prova algébrica com distributividade e idempotência é mais elegante e rápida quando já se conhece bem as leis. Você já tem duas maneiras de lembrar/justificar as propriedades de absorção na prova — e isso é ótimo!

Resposta

P \wedge (P \vee R) \equiv P
P \vee (P \wedge R) \equiv P

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