- Verifique que são verdadeiras as chamadas “propriedades de absorção”:
e
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que são verdadeiras as duas igualdades lógicas (chamadas propriedades de absorção):
Não há outros dados numéricos; a tarefa é mostrar que, para quaisquer valores de verdade de
e
, cada expressão composta tem exatamente a mesma coluna de valores de verdade que
. Ou seja, provar que cada expressão é logicamente equivalente a
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o significado dos símbolos usados (explicação didática e sem pulo de etapas).
-
é o conectivo “E” (AND). A fórmula é verdadeira somente quando e são verdadeiros. -
é o conectivo “OU” (OR) no sentido inclusivo. A fórmula é verdadeira se pelo menos uma de ou for verdadeira. -
significa “equivalente” no sentido lógico: duas fórmulas são equivalentes se, para toda atribuição de valores de verdade às suas variáveis, elas têm o mesmo valor de verdade.
Método escolhido (explicando por que): aqui o modo mais direto e elementar é usar a tabela-verdade com as 4 combinações possíveis de
e
. Isso é básico, fácil de executar sem teoremas sofisticados e perfeito para prova — sempre dá para aplicar rapidamente numa avaliação.
Passo 3
Construindo a tabela-verdade: para duas variáveis proposicionais
e
existem quatro combinações possíveis de valores
. Vou listar as quatro linhas e calcular passo a passo as subfórmulas necessárias.
Passo 4
Verificação de
por tabela-verdade.
Calculemos as colunas:
,
,
,
. Para cada linha:
-
Se
e :
.
.
Comparando com: aqui , então a expressão dá , igual a . -
Se
e :
.
.
Comparando com: a expressão coincide com . -
Se
e :
.
.
Comparando com: a expressão coincide com . -
Se
e :
.
.
Comparando com: a expressão coincide com .
Em todas as quatro linhas a coluna de
tem exatamente os mesmos valores que
. Portanto é verdade que
Passo 5
Agora verificação de
por tabela-verdade.
Calculemos as colunas:
,
,
,
. Para cada linha:
-
Se
e :
.
.
Comparando com: coincide. -
Se
e :
.
.
Comparando com: coincide. -
Se
e :
.
.
Comparando com: coincide. -
Se
e :
.
.
Comparando com: coincide.
Em todas as quatro linhas a coluna de
tem exatamente os mesmos valores que
. Portanto é verdade que
Passo 6
Complemento: prova algébrica curta (útil para prova na folha, quando já se aceitam leis básicas como distributividade e idempotência).
Mostramos antes por tabela que
. Agora, para a segunda igualdade, aplicar a lei distributiva de
sobre
:
Pela idempotência de
temos
, então
Como já provamos (pela tabela) que
, segue que
Esse raciocínio algebraico é curto e prático em prova: primeiro pode-se justificar uma das igualdades por tabela ou por observação, e usar leis padrão (distributiva, idempotência) para obter a outra.
Passo 7
Recapitulando de forma motivadora: a tabela-verdade é uma ferramenta simples e infalível — faça ela quando estiver em dúvida na prova. A prova algébrica com distributividade e idempotência é mais elegante e rápida quando já se conhece bem as leis. Você já tem duas maneiras de lembrar/justificar as propriedades de absorção na prova — e isso é ótimo!