Verifique se a seguinte equação diferencial é exata e resolva a que for:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
M(x,y)
y e^{xy}
dx +
N(x,y)
x e^{xy}
dy =0; o conteúdo é equações diferenciais exatas: precisamos testar exatidão e, se for exata, encontrar a função potencial ψ(x,y).
dy =0; o conteúdo é equações diferenciais exatas: precisamos testar exatidão e, se for exata, encontrar a função potencial ψ(x,y).
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
∂M/∂y = e^{xy} + x y e^{xy}
∂N/∂x = e^{xy} + x y e^{xy}
Como ∂M/∂y = ∂N/∂x, a equação é exata.
Passo 3
Por ser exata, existe ψ(x,y) tal que ∂ψ/∂x = M e ∂ψ/∂y = N.
Passo 4
Integramos M em relação a x:
ψ(x,y) = ∫ y e^{xy} dx = e^{xy} + h(y)
Passo 5
Derivamos ψ em relação a y e igualamos a N:
∂ψ/∂y = x e^{xy} + h’(y) = x e^{xy}
Logo h’(y)=0, ou seja, h(y) é constante.
Passo 6
Portanto, a função potencial é ψ(x,y)=e^{xy}, e a solução geral implícita é ψ(x,y)=C.