Verifique se a seguinte equação diferencial é exata e resolva a que for:
y e^x y d x+x e^x y d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
M(x,y)

y e^{xy}
dx +
N(x,y)

x e^{xy}
dy =0; o conteúdo é equações diferenciais exatas: precisamos testar exatidão e, se for exata, encontrar a função potencial ψ(x,y).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
∂M/∂y = e^{xy} + x y e^{xy}
∂N/∂x = e^{xy} + x y e^{xy}
Como ∂M/∂y = ∂N/∂x, a equação é exata.

Passo 3

Por ser exata, existe ψ(x,y) tal que ∂ψ/∂x = M e ∂ψ/∂y = N.

Passo 4

Integramos M em relação a x:
ψ(x,y) = ∫ y e^{xy} dx = e^{xy} + h(y)

Passo 5

Derivamos ψ em relação a y e igualamos a N:
∂ψ/∂y = x e^{xy} + h’(y) = x e^{xy}
Logo h’(y)=0, ou seja, h(y) é constante.

Passo 6

Portanto, a função potencial é ψ(x,y)=e^{xy}, e a solução geral implícita é ψ(x,y)=C.

Resposta

e^xy=C

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