Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{x+y}=0

Passo 1

O enunciado pergunta se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{x+y}=0.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função a examinar é f(x,y)=\dfrac{xy}{x+y}.
  • A função não está definida quando x+y=0 (essa reta é excluída do domínio).
  • A questão é verificar se o limite de f(x,y) quando (x,y) se aproxima de (0,0) é igual a 0.

Passo 2

Breve lição sobre limites em \mathbb{R}^2 e método de caminhos (bem explicadinho):
  • O significado de \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L é: para qualquer sequência de pontos (x_n,y_n) (ou qualquer caminho) com (x_n,y_n)\to(0,0) e para os quais f esteja definido, os valores f(x_n,y_n) devem tender para o mesmo número L.
  • Consequência prática muito usada: se eu encontrar duas maneiras (dois caminhos) de aproximar (0,0) pelas quais f(x,y) tem limites diferentes, aí já provamos que o limite total não existe.
  • Atenção: mostrar que o limite ao longo de várias retas (por exemplo) é 0 não prova que o limite existe; pode haver um caminho curvo que dê outro valor.
Vou aplicar essa ideia: primeiro vou testar caminhos simples (retas) e depois procurar um caminho que dê um valor diferente de 0. Se isso acontecer, o limite não existe e, portanto, a afirmação "o limite é 0" é falsa.

Passo 3

Testando caminhos retos y=tx com constante t\neq -1 (essas retas passam por (0,0) e evitam a reta x+y=0 quando t\neq-1).
Substituindo y=tx em f:
\frac{xy}{x+y}=\frac{x\cdot (t x)}{x+t x}=\frac{t x^2}{x(1+t)}=\frac{t x}{1+t}.
Quando x\to 0 isso tende a 0. Logo, para qualquer reta y=tx com t\neq -1,
\lim_{x\to 0}\frac{xy}{x+y}=0.
Isso mostra que muitos caminhos dão limite 0, mas não garante que o limite total seja 0.

Passo 4

Agora vou construir um caminho que explore a singularidade da reta x+y=0 de forma a fazer o denominador ficar muito pequeno (da ordem de x^2), porque assim a fração pode virar uma constante diferente de 0.
Considere o caminho dado por
y=-x+x^2,
que vai para (0,0) quando x\to 0. Observação importante: para x\neq 0 pequeno, temos
x+y=x+(-x+x^2)=x^2\neq 0,
portanto a função está bem definida ao longo desse caminho (não estamos caindo na reta excluída x+y=0 exceto em x=0 onde já queremos o limite).
Calcule f ao longo desse caminho:
  • Numerador:
xy = x\cdot(-x+x^2) = -x^2 + x^3.
  • Denominador:
x+y = x^2.
Logo
\frac{xy}{x+y} = \frac{-x^2+x^3}{x^2} = -1 + x.
Quando x\to 0, essa expressão tende a -1.

Passo 5

Conclusão lógica:
  • Ao aproximar (0,0) por retas y=tx (com t\neq -1) o valor da função tende a 0.
  • Ao aproximar (0,0) pelo caminho y=-x+x^2 o valor da função tende a -1.
    Como encontramos dois caminhos com limites diferentes ( 0 e -1), o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) não existe. Portanto a afirmação de que o limite é 0 é falsa.
(Dica rápida: generalizando o caminho acima, se tomar y=-x+kx^2 para constante k\neq 0, você obtém \dfrac{xy}{x+y}\to -\dfrac{1}{k}, mostrando que dá para obter vários valores diferentes aproximando pela família desses caminhos — reforçando que não há limite único.)

Resposta

Falso

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