Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta:
Passo 1
O enunciado pergunta se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
Informações dadas e observações imediatas:
- A função a examinar é
. - A função não está definida quando
(essa reta é excluída do domínio). - A questão é verificar se o limite de
quando se aproxima de é igual a .
Passo 2
Breve lição sobre limites em
e método de caminhos (bem explicadinho):
- O significado de
é: para qualquer sequência de pontos (ou qualquer caminho) com e para os quais esteja definido, os valores devem tender para o mesmo número . - Consequência prática muito usada: se eu encontrar duas maneiras (dois caminhos) de aproximar
pelas quais tem limites diferentes, aí já provamos que o limite total não existe. - Atenção: mostrar que o limite ao longo de várias retas (por exemplo) é
não prova que o limite existe; pode haver um caminho curvo que dê outro valor.
Vou aplicar essa ideia: primeiro vou testar caminhos simples (retas) e depois procurar um caminho que dê um valor diferente de
. Se isso acontecer, o limite não existe e, portanto, a afirmação "o limite é
" é falsa.
Passo 3
Testando caminhos retos
com constante
(essas retas passam por
e evitam a reta
quando
).
Substituindo em
:
Substituindo
Quando
isso tende a
. Logo, para qualquer reta
com
,
Isso mostra que muitos caminhos dão limite
, mas não garante que o limite total seja
.
Passo 4
Agora vou construir um caminho que explore a singularidade da reta
de forma a fazer o denominador ficar muito pequeno (da ordem de
), porque assim a fração pode virar uma constante diferente de
.
Considere o caminho dado por
Considere o caminho dado por
que vai para
quando
. Observação importante: para
pequeno, temos
portanto a função está bem definida ao longo desse caminho (não estamos caindo na reta excluída
exceto em
onde já queremos o limite).
Calcule
ao longo desse caminho:
- Numerador:
- Denominador:
Logo
Quando
, essa expressão tende a
.
Passo 5
Conclusão lógica:
- Ao aproximar
por retas (com ) o valor da função tende a . - Ao aproximar
pelo caminho o valor da função tende a .
Como encontramos dois caminhos com limites diferentes (e ), o limite de quando não existe. Portanto a afirmação de que o limite é é falsa.
(Dica rápida: generalizando o caminho acima, se tomar
para constante
, você obtém
, mostrando que dá para obter vários valores diferentes aproximando pela família desses caminhos — reforçando que não há limite único.)
Resposta
Falso