Calcule o desvio padrão e o coeficiente de variação da seguinte distribuição:
Classe f_{i}
[0,4[ 2
[4,8[ 6
[8,12[ 8
[12,16[ 3
[16,20[ 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o desvio padrão e o coeficiente de variação da distribuição de frequências dada. Os dados que peguei da tabela são as classes e as frequências absolutas f_{i}:
[0,4[\colon f=2,\quad [4,8[\colon f=6,\quad [8,12[\colon f=8,\quad [12,16[\colon f=3,\quad [16,20[\colon f=1.
A tarefa é encontrar:
\text{(i) desvio padrão } \sigma\quad\text{e}\quad\text{(ii) coeficiente de variação } CV.ãçã
Vou trabalhar com a distribuição inteira (isto é, trataremos como população), porque o enunciado apresenta a distribuição completa de frequências e não pede amostragem nem faz referência a estimadores amostrais.

Passo 2

Primeiro passo prático: transformar as classes em valores (pontos representativos) usando os pontos médios de cada classe — isso é padrão para dados agrupados. O ponto médio x_i de uma classe [a,b[ é
x_i=\frac{a+b}{2}.
Calculei os pontos médios das classes:
[0,4[:\; x_1=\frac{0+4}{2}=2,\quad [4,8[:\; x_2=\frac{4+8}{2}=6,
[8,12[:\; x_3=\frac{8+12}{2}=10,\quad [12,16[:\; x_4=\frac{12+16}{2}=14,\quad [16,20[:\; x_5=\frac{16+20}{2}=18.
Também calculo o total de observações N somando as frequências:
N=\sum_i f_i = 2+6+8+3+1=20.

Passo 3

Agora calculo a média aritmética da distribuição agrupada. A fórmula da média para dados agrupados é
\bar{x}=\frac{\sum_i f_i x_i}{N},
onde f_i é a frequência da classe i, x_i o ponto médio da classe i e N o total das frequências. Vou calcular \sum_i f_i x_i mostrando cada produto:
2\cdot 2 = 4,\quad 6\cdot 6 = 36,\quad 8\cdot 10 = 80,\quad 3\cdot 14 = 42,\quad 1\cdot 18 = 18.
Somando:
\sum_i f_i x_i = 4+36+80+42+18 = 180.
Logo a média é
\bar{x}=\frac{180}{20}=9.
Interpretação rápida: a “média aproximada” da distribuição é 9, usando os pontos médios das classes.

Passo 4

Agora vamos calcular a variância populacional \sigma^2 para dados agrupados. A fórmula (para população) é
\sigma^{2}=\frac{\sum_i f_i (x_i-\bar{x})^{2}}{N}.
Explico: para cada classe calculamos a diferença x_i-\bar{x}, elevamos ao quadrado, multiplicamos pela frequência f_i (pois há f_i observações naquele valor aproximado) e somamos tudo; por fim dividimos por N.
Vou calcular cada termo f_i (x_i-\bar{x})^{2}:
  • Para x_1=2: x_1-\bar{x}=2-9=-7, (x_1-\bar{x})^{2}=49, e f_1\cdot 49 = 2\cdot49 = 98.
  • Para x_2=6: 6-9=-3, (-3)^{2}=9, e 6\cdot9 = 54.
  • Para x_3=10: 10-9=1, 1^{2}=1, e 8\cdot1 = 8.
  • Para x_4=14: 14-9=5, 5^{2}=25, e 3\cdot25 = 75.
  • Para x_5=18: 18-9=9, 9^{2}=81, e 1\cdot81 = 81.
Somando esses termos:
\sum_i f_i (x_i-\bar{x})^{2} = 98+54+8+75+81 = 316.
Portanto a variância populacional é
\sigma^{2}=\frac{316}{20}=15,8.

Passo 5

O desvio padrão populacional é a raiz quadrada da variância:
\sigma=\sqrt{\sigma^{2}}=\sqrt{15,8}\approx 3,975.
Breve comentário didático: se estivéssemos tratando estes dados como uma amostra e quiséssemos estimar a variância da população a partir da amostra, usaríamos N-1 no denominador (a variância amostral s^{2}=\dfrac{\sum f_i(x_i-\bar{x})^{2}}{N-1}). Mas aqui o enunciado não indica amostragem, então usei N.

Passo 6

Agora calculo o coeficiente de variação CV. O coeficiente de variação mede a dispersão relativa em relação à média e é definido por
CV=\frac{\sigma}{\bar{x}}\times 100\%.
Substituindo os valores numéricos:
CV=\frac{3,975}{9}\times 100\%\approx 44,17\%.
Interpretação curta: o desvio padrão corresponde a cerca de 44,17\% da média — ou seja, variabilidade relativamente alta em relação ao nível médio.

Resposta

\sigma\approx 3,975
CV\approx 44,17\%

Exercícios relacionados