Calcule o desvio padrão e o coeficiente de variação da seguinte distribuição:
Classe
2
6
8
3
1
| Classe |
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2 |
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6 |
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8 |
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3 |
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1 |
Passo 1
O enunciado pede para calcular o desvio padrão e o coeficiente de variação da distribuição de frequências dada. Os dados que peguei da tabela são as classes e as frequências absolutas
:
A tarefa é encontrar:
Vou trabalhar com a distribuição inteira (isto é, trataremos como população), porque o enunciado apresenta a distribuição completa de frequências e não pede amostragem nem faz referência a estimadores amostrais.
Passo 2
Primeiro passo prático: transformar as classes em valores (pontos representativos) usando os pontos médios de cada classe — isso é padrão para dados agrupados. O ponto médio
de uma classe
é
Calculei os pontos médios das classes:
Também calculo o total de observações
somando as frequências:
Passo 3
Agora calculo a média aritmética da distribuição agrupada. A fórmula da média para dados agrupados é
onde
é a frequência da classe
,
o ponto médio da classe
e
o total das frequências. Vou calcular
mostrando cada produto:
Somando:
Logo a média é
Interpretação rápida: a “média aproximada” da distribuição é
, usando os pontos médios das classes.
Passo 4
Agora vamos calcular a variância populacional
para dados agrupados. A fórmula (para população) é
Explico: para cada classe calculamos a diferença
, elevamos ao quadrado, multiplicamos pela frequência
(pois há
observações naquele valor aproximado) e somamos tudo; por fim dividimos por
.
Vou calcular cada termo
:
- Para
: , , e . - Para
: , , e . - Para
: , , e . - Para
: , , e . - Para
: , , e .
Somando esses termos:
Portanto a variância populacional é
Passo 5
O desvio padrão populacional é a raiz quadrada da variância:
Breve comentário didático: se estivéssemos tratando estes dados como uma amostra e quiséssemos estimar a variância da população a partir da amostra, usaríamos
no denominador (a variância amostral
). Mas aqui o enunciado não indica amostragem, então usei
.
Passo 6
Agora calculo o coeficiente de variação
. O coeficiente de variação mede a dispersão relativa em relação à média e é definido por
Substituindo os valores numéricos:
Interpretação curta: o desvio padrão corresponde a cerca de
da média — ou seja, variabilidade relativamente alta em relação ao nível médio.