Verifique se as seguintes aplicações definem ou não produtos internos em \mathbb{R}^{3} :
\langle u, v\rangle=u_{1} v_{1}+2 u_{2} v_{2}+u_{1} v_{2}+u_{2} v_{1}+u_{3} v_{3}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
\langle u,v\rangle = u_{1}v_{1} + 2u_{2}v_{2} + u_{1}v_{2} + u_{2}v_{1} + u_{3}v_{3}
define ou não um produto interno em \mathbb{R}^{3}.
Informações dadas que vamos usar: u=(u_{1},u_{2},u_{3}) e v=(v_{1},v_{2},v_{3}) são vetores em \mathbb{R}^{3} e a expressão acima é válida para quaisquer u,v\in\mathbb{R}^{3}.

Passo 2

O que é preciso verificar (definição de produto interno real): para todo u,v,w\in\mathbb{R}^{3} e todo escalar c\in\mathbb{R} a aplicação \langle\cdot,\cdot\rangle deve satisfazer
\text{(i) simetria: }\langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle,
\text{(ii) bilinearidade (linearidade em cada argumento): }\langle u+v,w\rangle=\langle u,w\rangle+\langle v,w\rangle,\quad \langle cu,v\rangle=c\langle u,v\rangle,
\text{(iii) positividade definida: }\langle u,u\rangle\ge 0\text{ e }\langle u,u\rangle=0\iff u=0.
Vamos checar as três propriedades explicitamente, uma por uma.

Passo 3

Verificação da simetria. Calculo \langle v,u\rangle trocando u por v na expressão:
\langle v,u\rangle = v_{1}u_{1} + 2v_{2}u_{2} + v_{1}u_{2} + v_{2}u_{1} + v_{3}u_{3}.
Como a multiplicação de reais é comutativa (por exemplo v_{1}u_{2}=u_{2}v_{1}), todos os termos de \langle v,u\rangle coincidem com os termos de \langle u,v\rangle. Logo
\langle v,u\rangle=\langle u,v\rangle,
ou seja, a simetria está satisfeita.

Passo 4

Verificação da bilinearidade (linearidade em cada argumento). Vou mostrar linearidade no segundo argumento (a mesma ideia vale para o primeiro porque a forma é bilinear simétrica).
Sejam v,w\in\mathbb{R}^{3}. Então
\langle u,v+w\rangle = u_{1}(v_{1}+w_{1}) + 2u_{2}(v_{2}+w_{2}) + u_{1}(v_{2}+w_{2}) + u_{2}(v_{1}+w_{1}) + u_{3}(v_{3}+w_{3}).
Distribuindo e reorganizando:
\langle u,v+w\rangle = \big(u_{1}v_{1}+2u_{2}v_{2}+u_{1}v_{2}+u_{2}v_{1}+u_{3}v_{3}\big) + \big(u_{1}w_{1}+2u_{2}w_{2}+u_{1}w_{2}+u_{2}w_{1}+u_{3}w_{3}\big).
Os dois grupos entre parênteses são exatamente \langle u,v\rangle e \langle u,w\rangle. Portanto
\langle u,v+w\rangle=\langle u,v\rangle+\langle u,w\rangle.
Para homogeneidade em escala c\in\mathbb{R},
\langle u,cv\rangle = u_{1}(cv_{1}) + 2u_{2}(cv_{2}) + u_{1}(cv_{2}) + u_{2}(cv_{1}) + u_{3}(cv_{3}) = c\big(u_{1}v_{1}+2u_{2}v_{2}+u_{1}v_{2}+u_{2}v_{1}+u_{3}v_{3}\big) = c\langle u,v\rangle.
Como a forma é simétrica, a linearidade no primeiro argumento também vale. Assim a bilinearidade está verificada.

Passo 5

Verificação da positividade definida. Calculemos \langle u,u\rangle substituindo v=u:
\langle u,u\rangle = u_{1}^{2} + 2u_{2}^{2} + u_{1}u_{2} + u_{2}u_{1} + u_{3}^{2}.
Como u_{1}u_{2}+u_{2}u_{1}=2u_{1}u_{2}, obtemos
\langle u,u\rangle = u_{1}^{2} + 2u_{1}u_{2} + 2u_{2}^{2} + u_{3}^{2}.
Agora faço uma reescrita útil por soma de quadrados: note que
u_{1}^{2} + 2u_{1}u_{2} + 2u_{2}^{2} = (u_{1}+u_{2})^{2} + u_{2}^{2},
pois (u_{1}+u_{2})^{2}=u_{1}^{2}+2u_{1}u_{2}+u_{2}^{2}. Então
\langle u,u\rangle = (u_{1}+u_{2})^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2}.
Cada termo à direita é um quadrado real, portanto \langle u,u\rangle\ge 0 para todo u. Além disso, se \langle u,u\rangle=0 então (u_{1}+u_{2})^{2}=0, u_{2}^{2}=0 e u_{3}^{2}=0, o que implica u_{2}=0, daí u_{1}=-u_{2}=0 e u_{3}=0. Assim u=0. Portanto a positividade definida (estrita) é satisfeita.

Passo 6

Resumo das verificações: mostramos que a aplicação é simétrica (Passo 3), linear em cada argumento (Passo 4) e positiva definida (Passo 5). Todas as condições de produto interno em \mathbb{R}^{3} foram verificadas.

Resposta

Sim, a aplicação define um produto interno em \mathbb{R}^{3}.

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