Verifique se as seguintes aplicações definem ou não produtos internos em
:
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
define ou não um produto interno em
.
Informações dadas que vamos usar: e
são vetores em
e a expressão acima é válida para quaisquer
.
Informações dadas que vamos usar:
Passo 2
O que é preciso verificar (definição de produto interno real): para todo
e todo escalar
a aplicação
deve satisfazer
Vamos checar as três propriedades explicitamente, uma por uma.
Passo 3
Verificação da simetria. Calculo
trocando
por
na expressão:
Como a multiplicação de reais é comutativa (por exemplo
), todos os termos de
coincidem com os termos de
. Logo
ou seja, a simetria está satisfeita.
Passo 4
Verificação da bilinearidade (linearidade em cada argumento). Vou mostrar linearidade no segundo argumento (a mesma ideia vale para o primeiro porque a forma é bilinear simétrica).
Sejam
. Então
Distribuindo e reorganizando:
Os dois grupos entre parênteses são exatamente
e
. Portanto
Para homogeneidade em escala
,
Como a forma é simétrica, a linearidade no primeiro argumento também vale. Assim a bilinearidade está verificada.
Passo 5
Verificação da positividade definida. Calculemos
substituindo
:
Como
, obtemos
Agora faço uma reescrita útil por soma de quadrados: note que
pois
. Então
Cada termo à direita é um quadrado real, portanto
para todo
. Além disso, se
então
,
e
, o que implica
, daí
e
. Assim
. Portanto a positividade definida (estrita) é satisfeita.
Passo 6
Resumo das verificações: mostramos que a aplicação é simétrica (Passo 3), linear em cada argumento (Passo 4) e positiva definida (Passo 5). Todas as condições de produto interno em
foram verificadas.
Resposta
Sim, a aplicação define um produto interno em
.