Considere em \mathbb{R}^{3} as bases \alpha=\left\{v_{1}=(2,1,1), v_{2}=(0,0,1), v_{3}=(-1,1,1)\right\} e \beta=\left\{u_{1}=(1,1,0), u_{2}=\right. \left.(-1,1,1), u_{3}=(0,1,2)\right\}.
(a) Determine [I]_{\beta}^{\alpha}.
(b) Usando o item anterior, escreva o vetor 5 u_{1}+4 u_{2}+u_{3} como combinação linear dos vetores v_{1}, v_{2} e v_{3}.
Usando o item anterior, escrever o vetor 5u_{1}+4u_{2}+u_{3} como combinação linear dos vetores v_{1},v_{2},v_{3}.
Dados importantes listados:
Os vetores v_1,v_2,v_3 e u_1,u_2,u_3 estão explicitamente fornecidos (veja acima).
A resposta do item (a) será uma matriz 3\times3.
No item (b) queremos os coeficientes na base \alpha do vetor que tem coordenadas (5,4,1) na base \beta (pois 5u_1+4u_2+1u_3 tem essas coordenadas em \beta).
Passo 2
O que significa [I]_{\beta}^{\alpha}? Vou usar a convenção padrão: [I]_{\beta}^{\alpha} é a matriz da transformação identidade que toma coordenadas relativas à base \alpha e fornece coordenadas relativas à base \beta. Em fórmulas:
\text{se }x\in\mathbb{R}^3\text{ e }[x]_{\alpha}\text{ são as coordenadas de }x\text{ na base }\alpha,\text{ então } [x]_{\beta}=[I]_{\beta}^{\alpha}\,[x]_{\alpha}.
Isto implica que cada coluna de [I]_{\beta}^{\alpha} é exatamente as coordenadas do respectivo vetor v_j da base \alpha expressas na base \beta. Portanto, para montar [I]_{\beta}^{\alpha} precisamos, para cada v_j (j=1,2,3), encontrar escalares c_{1},c_{2},c_{3} tais que
v_j = c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}+c_{3}u_{3},
e então a coluna j de [I]_{\beta}^{\alpha} será \begin{pmatrix}c_{1}\c_{2}\c_{3}\end{pmatrix}.
Passo 3
Escrevo a matriz cujas colunas são os vetores da base \beta. Vou usá-la para resolver sistemas do tipo U\mathbf{c}=v_j:
onde as colunas são u_{1},u_{2},u_{3} respectivamente. Para cada v_j resolvemos U\mathbf{c}=v_j por eliminação (ou substituição) para achar \mathbf{c}=[v_j]_{\beta}.]
Passo 4
Calcular [v_1]_{\beta}\) com \(v_{1}=(2,1,1)\). O sistema \(U\mathbf{c}=v_1\) é
\[\begin{cases} c_1 - c_2 + 0\cdot c_3 = 2,\\[4pt] c_1 + c_2 + c_3 = 1,\\[4pt] 0\cdot c_1 + c_2 + 2c_3 = 1. \end{cases}
Passo a passo:
Da primeira equação: c_1 = 2 + c_2\].
- Da terceira equação: \(c_2 = 1 - 2c_3.
- Substituo c_1 e c_2 na segunda:
Calcular [v_2]_{\beta}\) com \(v_{2}=(0,0,1)\). O sistema é
\[\begin{cases} c_1 - c_2 = 0,\\[4pt] c_1 + c_2 + c_3 = 0,\\[4pt] c_2 + 2c_3 = 1. \end{cases}
Passo a passo:
Da primeira equação: c_1=c_2\].
- Substituo em segunda: \(c_2+c_2+c_3=0\Rightarrow 2c_2+c_3=0.
- Da terceira: c_2=1-2c_3.
- Substituo na equação 2c_2+c_3=0:
Calcular [v_3]_{\beta}\) com \(v_{3}=(-1,1,1)\). O sistema é
\[\begin{cases} c_1 - c_2 = -1,\\[4pt] c_1 + c_2 + c_3 = 1,\\[4pt] c_2 + 2c_3 = 1. \end{cases}
Passo a passo:
Da primeira: c_1=-1+c_2\].
- Substituo na segunda: \((-1+c_2)+c_2+c_3=1\Rightarrow -1+2c_2+c_3=1\Rightarrow 2c_2+c_3=2.
- Da terceira: c_2=1-2c_3.
- Substituo: 2(1-2c_3)+c_3=2\Rightarrow 2-4c_3+c_3=2\Rightarrow -3c_3=0\Rightarrow c_3=0.
- Então c_2=1 e c_1=-1+1=0.
Observação útil: em coordenadas relativas a \beta, temos [w]_{\beta}=\begin{pmatrix}5\\[4pt]4\\[4pt]1\end{pmatrix}, que é justamente o vetor de coeficientes na combinação em \beta.]
Passo 9
Usando a relação [w]_{\beta}=[I]_{\beta}^{\alpha}[w]_{\alpha}, se escrevemos [w]_{\alpha}=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\end{pmatrix} então devemos resolver o sistema