Considere em \mathbb{R}^{3} as bases \alpha=\left\{v_{1}=(2,1,1), v_{2}=(0,0,1), v_{3}=(-1,1,1)\right\} e \beta=\left\{u_{1}=(1,1,0), u_{2}=\right. \left.(-1,1,1), u_{3}=(0,1,2)\right\}.
(a) Determine [I]_{\beta}^{\alpha}.
(b) Usando o item anterior, escreva o vetor 5 u_{1}+4 u_{2}+u_{3} como combinação linear dos vetores v_{1}, v_{2} e v_{3}.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de \mathbb{R}^3:
\alpha=\{v_{1}=(2,1,1),\; v_{2}=(0,0,1),\; v_{3}=(-1,1,1)\},
\beta=\{u_{1}=(1,1,0),\; u_{2}=(-1,1,1),\; u_{3}=(0,1,2)\}.
Há duas perguntas:
  1. Determinar [I]_{\beta}^{\alpha}.
  2. Usando o item anterior, escrever o vetor 5u_{1}+4u_{2}+u_{3} como combinação linear dos vetores v_{1},v_{2},v_{3}.
Dados importantes listados:
  • Os vetores v_1,v_2,v_3 e u_1,u_2,u_3 estão explicitamente fornecidos (veja acima).
  • A resposta do item (a) será uma matriz 3\times3.
  • No item (b) queremos os coeficientes na base \alpha do vetor que tem coordenadas (5,4,1) na base \beta (pois 5u_1+4u_2+1u_3 tem essas coordenadas em \beta).

Passo 2

O que significa [I]_{\beta}^{\alpha}? Vou usar a convenção padrão: [I]_{\beta}^{\alpha} é a matriz da transformação identidade que toma coordenadas relativas à base \alpha e fornece coordenadas relativas à base \beta. Em fórmulas:
\text{se }x\in\mathbb{R}^3\text{ e }[x]_{\alpha}\text{ são as coordenadas de }x\text{ na base }\alpha,\text{ então } [x]_{\beta}=[I]_{\beta}^{\alpha}\,[x]_{\alpha}.ãã
Isto implica que cada coluna de [I]_{\beta}^{\alpha} é exatamente as coordenadas do respectivo vetor v_j da base \alpha expressas na base \beta. Portanto, para montar [I]_{\beta}^{\alpha} precisamos, para cada v_j ( j=1,2,3), encontrar escalares c_{1},c_{2},c_{3} tais que
v_j = c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}+c_{3}u_{3},
e então a coluna j de [I]_{\beta}^{\alpha} será \begin{pmatrix}c_{1}\c_{2}\c_{3}\end{pmatrix}.

Passo 3

Escrevo a matriz cujas colunas são os vetores da base \beta. Vou usá-la para resolver sistemas do tipo U\mathbf{c}=v_j:
U=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 2 \end{pmatrix},
onde as colunas são u_{1},u_{2},u_{3} respectivamente. Para cada v_j resolvemos U\mathbf{c}=v_j por eliminação (ou substituição) para achar \mathbf{c}=[v_j]_{\beta}.]

Passo 4

Calcular [v_1]_{\beta}\) com \(v_{1}=(2,1,1)\). O sistema \(U\mathbf{c}=v_1\) é \[\begin{cases} c_1 - c_2 + 0\cdot c_3 = 2,\\[4pt] c_1 + c_2 + c_3 = 1,\\[4pt] 0\cdot c_1 + c_2 + 2c_3 = 1. \end{cases}
Passo a passo:
  • Da primeira equação: c_1 = 2 + c_2\]. - Da terceira equação: \(c_2 = 1 - 2c_3.
    - Substituo c_1 e c_2 na segunda:
(2+c_2)+c_2+c_3=1 \;\Rightarrow\; 2+2c_2+c_3=1 \;\Rightarrow\; 2c_2+c_3=-1.
  • Substituo c_2=1-2c_3 nessa última:
2(1-2c_3)+c_3=-1 \;\Rightarrow\; 2-4c_3+c_3=-1 \;\Rightarrow\; -3c_3=-3 \;\Rightarrow\; c_3=1.
  • Então c_2=1-2\cdot1=-1 e c_1=2+(-1)=1.
Logo
[v_1]_{\beta}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular [v_2]_{\beta}\) com \(v_{2}=(0,0,1)\). O sistema é \[\begin{cases} c_1 - c_2 = 0,\\[4pt] c_1 + c_2 + c_3 = 0,\\[4pt] c_2 + 2c_3 = 1. \end{cases}
Passo a passo:
  • Da primeira equação: c_1=c_2\]. - Substituo em segunda: \(c_2+c_2+c_3=0\Rightarrow 2c_2+c_3=0.
    - Da terceira: c_2=1-2c_3.
    - Substituo na equação 2c_2+c_3=0:
2(1-2c_3)+c_3=0 \Rightarrow 2-4c_3+c_3=0 \Rightarrow 2-3c_3=0 \Rightarrow c_3=\tfrac{2}{3}.
  • Então c_2=1-2\cdot\tfrac{2}{3}=1-\tfrac{4}{3}=-\tfrac{1}{3} e c_1=c_2=-\tfrac{1}{3}.
Logo
[v_2]_{\beta}=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{3}\\[4pt]-\tfrac{1}{3}\\[4pt]\tfrac{2}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular [v_3]_{\beta}\) com \(v_{3}=(-1,1,1)\). O sistema é \[\begin{cases} c_1 - c_2 = -1,\\[4pt] c_1 + c_2 + c_3 = 1,\\[4pt] c_2 + 2c_3 = 1. \end{cases}
Passo a passo:
  • Da primeira: c_1=-1+c_2\]. - Substituo na segunda: \((-1+c_2)+c_2+c_3=1\Rightarrow -1+2c_2+c_3=1\Rightarrow 2c_2+c_3=2.
    - Da terceira: c_2=1-2c_3.
    - Substituo: 2(1-2c_3)+c_3=2\Rightarrow 2-4c_3+c_3=2\Rightarrow -3c_3=0\Rightarrow c_3=0.
    - Então c_2=1 e c_1=-1+1=0.
Logo
[v_3]_{\beta}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora monto [I]_{\beta}^{\alpha} colocando as coordenadas [v_1]_{\beta},[v_2]_{\beta},[v_3]_{\beta} como colunas, na ordem v_1,v_2,v_3:
[I]_{\beta}^{\alpha}= \begin{pmatrix} 1 & -\tfrac{1}{3} & 0\\[6pt] -1 & -\tfrac{1}{3} & 1\\[6pt] 1 & \tfrac{2}{3} & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 8

Para o item (b) quero escrever w=5u_{1}+4u_{2}+u_{3} como combinação da base \alpha. Primeiro calculo w nas coordenadas canônicas (soma direta):
w=5(1,1,0)+4(-1,1,1)+1(0,1,2)=(5-4+0,\;5+4+1,\;0+4+2)=(1,10,6).
Observação útil: em coordenadas relativas a \beta, temos [w]_{\beta}=\begin{pmatrix}5\\[4pt]4\\[4pt]1\end{pmatrix}, que é justamente o vetor de coeficientes na combinação em \beta.]

Passo 9

Usando a relação [w]_{\beta}=[I]_{\beta}^{\alpha}[w]_{\alpha}, se escrevemos [w]_{\alpha}=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\end{pmatrix} então devemos resolver o sistema
\begin{pmatrix} 1 & -\tfrac{1}{3} & 0\\[6pt] -1 & -\tfrac{1}{3} & 1\\[6pt] 1 & \tfrac{2}{3} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\[4pt]4\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Resolvo por eliminação simples:
  • Das primeiras e terceira equações:
x_1-\tfrac{1}{3}x_2=5,\qquad x_1+\tfrac{2}{3}x_2=1.
Subtraindo a segunda da primeira:
\Big(x_1-\tfrac{1}{3}x_2\Big)-\Big(x_1+\tfrac{2}{3}x_2\Big)=-\;x_2=5-1=4\Rightarrow x_2=-4.
  • Substituo x_2=-4 na primeira equação:
x_1-\tfrac{1}{3}(-4)=5 \Rightarrow x_1+\tfrac{4}{3}=5 \Rightarrow x_1=5-\tfrac{4}{3}=\tfrac{11}{3}.
  • Finalmente uso a segunda equação do sistema original para achar x_3:
- x_1 -\tfrac{1}{3}x_2 + x_3 =4.
Substituindo x_1=\tfrac{11}{3} e x_2=-4:
- \tfrac{11}{3} -\tfrac{1}{3}(-4) + x_3 =4 \Rightarrow -\tfrac{11}{3} + \tfrac{4}{3} + x_3 =4 \Rightarrow -\tfrac{7}{3} + x_3 =4
\Rightarrow x_3 = 4 + \tfrac{7}{3} = \tfrac{12}{3} + \tfrac{7}{3} = \tfrac{19}{3}.
Portanto [w]_{\alpha}=\begin{pmatrix}\tfrac{11}{3}\\[4pt]-4\\[4pt]\tfrac{19}{3}\end{pmatrix}, ou seja
w=\tfrac{11}{3}v_{1}-4v_{2}+\tfrac{19}{3}v_{3}.]

Resposta

[I]_{\beta}^{\alpha}=\displaystyle\begin{pmatrix} 1 & -\tfrac{1}{3} & 0\\[6pt] -1 & -\tfrac{1}{3} & 1\\[6pt] 1 & \tfrac{2}{3} & 0 \end{pmatrix}
5u_{1}+4u_{2}+u_{3}=\displaystyle\tfrac{11}{3}\,v_{1}-4\,v_{2}+\tfrac{19}{3}\,v_{3}]

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