Verifique se as seguintes aplicações definem ou não produtos internos em \mathbb{R}^{3} : \langle u, v\rangle=3 u_{1} v_{1}-u_{1} v_{2}-u_{2} v_{1}+2 u_{2} v_{2}+5 u_{3} v_{3}.
define ou não um produto interno em \mathbb{R}^{3}.
Informações relevantes fornecidas:
A aplicação é dada explicitamente por uma combinação bilinear dos componentes u_{1},u_{2},u_{3} e v_{1},v_{2},v_{3}.
Precisamos verificar as propriedades que caracterizam um produto interno: simetria, linearidade em (pelo menos) um dos argumentos (e pela simetria, em ambos) e positividade definida (isto é, \langle u,u\rangle>0 para todo u\neq 0).
Passo 2
Vamos checar a simetria: mostrar que \langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle para todos u,v\in\mathbb{R}^{3}.
Calculemos \langle v,u\rangle trocando u por v e v por u:
Isso é exatamente \langle u,v\rangle. Logo, a aplicação é simétrica.
Passo 3
Vamos verificar a linearidade (bilinearidade). Explico primeiro o que significa linearidade no primeiro argumento: para todos u,w,v\in\mathbb{R}^{3} e todo escalar c\in\mathbb{R} deve valer
Como a definição dada é uma soma de termos do tipo constante \times u_i v_j, a expressão é linear em cada u_i quando os v_j são fixos. Para ver concretamente, por exemplo:
isto é, \langle u,v\rangle+\langle w,v\rangle. O mesmo raciocínio vale para multiplicação por escalar. Pela simetria já comprovada, a linearidade em um argumento implica linearidade no outro. Portanto a aplicação é bilinear.
(Dica: de forma compacta, qualquer forma \langle u,v\rangle = u^{T}Av com A matriz fixa tem linearidade nas duas entradas.)
Passo 4
Vamos escrever a aplicação na forma matricial \langle u,v\rangle = u^{T} A v para identificar melhor A. Os coeficientes que aparecem indicam a matriz simétrica
De fato, multiplicando u^{T}Av obtemos exatamente a expressão do enunciado. Ter A explícita facilita checar a positividade usando critérios matriciais.]
Passo 5
Escrevemos a forma quadrática associada (isto é, \langle u,u\rangle) para testar positividade:
Note que o termo em u_{3} é 5u_{3}^{2}\ge 0 e é estritamente positivo sempre que u_{3}\neq 0. Resta analisar a parte envolvendo u_{1},u_{2}.
Passo 6
Usamos o critério de Sylvester (uma ferramenta prática): para uma matriz simétrica real A, a forma quadrática u^{T}Au é positiva definida se, e somente se, todos os menores principais superiores (os determinantes das submatrizes top-left de tamanho 1,2,\dots) forem positivos. Vamos calcular esses menores.
Como \Delta_{1}>0, \Delta_{2}>0 e \Delta_{3}>0, pelo critério de Sylvester a matriz A é positiva definida. Portanto \langle u,u\rangle>0 para todo u\neq 0.]
Passo 7
Conclusão combinada das verificações:
Simetria: OK (Passo 2).
Bilinearidade/linearidade: OK (Passo 3 e Passo 4).
Positividade definida: OK pelo critério de Sylvester (Passo 6).
Portanto a aplicação satisfaz todas as propriedades de um produto interno em \mathbb{R}^{3}.
Resposta
Sim: a aplicação define um produto interno em \mathbb{R}^{3}.