Verifique se as seguintes aplicações definem ou não produtos internos em \mathbb{R}^{3} :
\langle u, v\rangle=3 u_{1} v_{1}-u_{1} v_{2}-u_{2} v_{1}+2 u_{2} v_{2}+5 u_{3} v_{3}.

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos se a aplicação
\langle u,v\rangle = 3u_{1}v_{1}-u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}+2u_{2}v_{2}+5u_{3}v_{3}
define ou não um produto interno em \mathbb{R}^{3}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A aplicação é dada explicitamente por uma combinação bilinear dos componentes u_{1},u_{2},u_{3} e v_{1},v_{2},v_{3}.
  • Precisamos verificar as propriedades que caracterizam um produto interno: simetria, linearidade em (pelo menos) um dos argumentos (e pela simetria, em ambos) e positividade definida (isto é, \langle u,u\rangle>0 para todo u\neq 0).

Passo 2

Vamos checar a simetria: mostrar que \langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle para todos u,v\in\mathbb{R}^{3}.
Calculemos \langle v,u\rangle trocando u por v e v por u:
\langle v,u\rangle = 3v_{1}u_{1}-v_{1}u_{2}-v_{2}u_{1}+2v_{2}u_{2}+5v_{3}u_{3}.
Reorganizando os produtos (lembrando que a b = b a),
\langle v,u\rangle = 3u_{1}v_{1}-u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}+2u_{2}v_{2}+5u_{3}v_{3}.
Isso é exatamente \langle u,v\rangle. Logo, a aplicação é simétrica.

Passo 3

Vamos verificar a linearidade (bilinearidade). Explico primeiro o que significa linearidade no primeiro argumento: para todos u,w,v\in\mathbb{R}^{3} e todo escalar c\in\mathbb{R} deve valer
\langle u+w,v\rangle = \langle u,v\rangle + \langle w,v\rangle
e
\langle c u,v\rangle = c\,\langle u,v\rangle.
Como a definição dada é uma soma de termos do tipo constante \times u_i v_j, a expressão é linear em cada u_i quando os v_j são fixos. Para ver concretamente, por exemplo:
\langle u+w,v\rangle = 3(u_1+w_1)v_1 - (u_1+w_1)v_2 - (u_2+w_2)v_1 + 2(u_2+w_2)v_2 +5(u_3+w_3)v_3,
que se distribui para
(3u_1v_1 - u_1v_2 - u_2v_1 + 2u_2v_2 +5u_3v_3) + (3w_1v_1 - w_1v_2 - w_2v_1 + 2w_2v_2 +5w_3v_3),
isto é, \langle u,v\rangle+\langle w,v\rangle. O mesmo raciocínio vale para multiplicação por escalar. Pela simetria já comprovada, a linearidade em um argumento implica linearidade no outro. Portanto a aplicação é bilinear.
(Dica: de forma compacta, qualquer forma \langle u,v\rangle = u^{T}Av com A matriz fixa tem linearidade nas duas entradas.)

Passo 4

Vamos escrever a aplicação na forma matricial \langle u,v\rangle = u^{T} A v para identificar melhor A. Os coeficientes que aparecem indicam a matriz simétrica
A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0\\[4pt] -1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}.
De fato, multiplicando u^{T}Av obtemos exatamente a expressão do enunciado. Ter A explícita facilita checar a positividade usando critérios matriciais.]

Passo 5

Escrevemos a forma quadrática associada (isto é, \langle u,u\rangle) para testar positividade:
\langle u,u\rangle = 3u_{1}^{2}-u_{1}u_{2}-u_{2}u_{1}+2u_{2}^{2}+5u_{3}^{2}.
Como u_{1}u_{2}=u_{2}u_{1}, simplifica para
\langle u,u\rangle = 3u_{1}^{2}-2u_{1}u_{2}+2u_{2}^{2}+5u_{3}^{2}.
Note que o termo em u_{3} é 5u_{3}^{2}\ge 0 e é estritamente positivo sempre que u_{3}\neq 0. Resta analisar a parte envolvendo u_{1},u_{2}.

Passo 6

Usamos o critério de Sylvester (uma ferramenta prática): para uma matriz simétrica real A, a forma quadrática u^{T}Au é positiva definida se, e somente se, todos os menores principais superiores (os determinantes das submatrizes top-left de tamanho 1,2,\dots) forem positivos. Vamos calcular esses menores.
Menor principal de ordem 1:
\Delta_{1} = \det\begin{pmatrix}3\end{pmatrix} = 3 > 0.
Menor principal de ordem 2:
\Delta_{2} = \det\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix} = 3\cdot 2 - (-1)\cdot(-1) = 6 - 1 = 5 > 0.
Menor principal de ordem 3 (determinante de A):
Como A é praticamente bloco diagonal com o bloco 2\times2 e o elemento 5 embaixo à direita, temos
\Delta_{3} = \det(A) = \det\begin{pmatrix}3 & -1 & 0\\[4pt]-1 & 2 & 0\\[4pt]0 & 0 & 5\end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix}\cdot 5 = 5\cdot 5 = 25 > 0.
Como \Delta_{1}>0, \Delta_{2}>0 e \Delta_{3}>0, pelo critério de Sylvester a matriz A é positiva definida. Portanto \langle u,u\rangle>0 para todo u\neq 0.]

Passo 7

Conclusão combinada das verificações:
  • Simetria: OK (Passo 2).
  • Bilinearidade/linearidade: OK (Passo 3 e Passo 4).
  • Positividade definida: OK pelo critério de Sylvester (Passo 6).
Portanto a aplicação satisfaz todas as propriedades de um produto interno em \mathbb{R}^{3}.

Resposta

Sim: a aplicação define um produto interno em \mathbb{R}^{3}.

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