Verifique se os seguintes campos vetoriais são conservativos em algum domínio. Em caso afirmativo, encontre uma função potencial.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo em algum domínio e, se for, encontrar uma função potencial. O campo dado é
Listei as informações que temos:
- Componente
- (primeira componente) do campo:
- Componente
- (segunda componente) do campo:
- O domínio natural onde o campo está definido é todo o plano
, pois a expressão usa exponenciais e polinômios, que são bem definidos em toda parte.
A partir daqui vamos verificar se existe uma funçãotal que .
Passo 2
O que significa ser conservativo (explicando passo a passo)?
- Um campo vetorial planar
é conservativo num domínio se existe uma função escalar tal que
em todo
.
- Uma condição prática (teorema da igualdade das derivadas mistas) é: se
e têm derivadas parciais contínuas num domínio simplesmente conexo e
então
é conservativo em
.
- “Simplesmente conexo” aqui significa, de forma intuitiva, que o domínio não tem “buracos” (por exemplo,
é simplesmente conexo, não é). - No nosso caso
e são combinações de funções exponenciais e polinomiais, logo têm derivadas parciais contínuas em todo . Portanto bastará verificar se .
Passo 3
Calcule
passo a passo. Lembre que
. Vou aplicar a regra do produto (derivada de
é
).
- Considere
(que como função de tem derivada ) e (que tem derivada pela regra da cadeia).
Logo
Fatorando
obtemos
Passo 4
Calcule
passo a passo. Lembre que
. Novamente uso a regra do produto (agora em
).
- Tome
com e com (regra da cadeia).
Então
Fatorando
obtemos
Passo 5
Compare as duas derivadas parciais:
Elas são iguais em todo
. Como
e
são contínuas e têm derivadas contínuas em todo
e
é simplesmente conexo (não tem buracos), pelo critério anterior concluímos que
é conservativo em
(ou em qualquer domínio simplesmente conexo do plano).
Passo 6
Agora vamos encontrar explicitamente uma função potencial
tal que
. Começo integrando
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
. Para calcular a integral use a substituição
Com isso
Portanto, tomando a constante
incorporada em
, temos
Passo 7
Determine
impondo
. Calcule
:
Isso deve ser igual a
. Igualando,
Logo
é constante. Denotando essa constante por
, obtemos a função potencial
Passo 8
Resumo final e observações rápidas (para a prova):
- Verificação chave: checar
e e usar que o domínio é simplesmente conexo. - Técnica para achar potencial: integrar a componente
em (ou em ), usar substituição quando conveniente, e depois ajustar com uma função de integração univariada. - Não esquecer de checar a consistência derivando a solução e igualando com a outra componente.
Resposta
Conservativo em
. Potencial:
.