Verifique se os seguintes campos vetoriais são conservativos em algum domínio. Em caso afirmativo, encontre uma função potencial.
\vec{g}(x, y)=x e^{x^{2} y}(2 y \vec{i}+x \vec{j})

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial \vec{g}(x,y) é conservativo em algum domínio e, se for, encontrar uma função potencial. O campo dado é
\vec{g}(x,y)=x e^{x^{2} y}(2 y \,\vec{i}+x \,\vec{j}).
Listei as informações que temos:
  • Componente x- (primeira componente) do campo:
P(x,y)=2xy\,e^{x^{2}y}.
  • Componente y- (segunda componente) do campo:
Q(x,y)=x^{2}e^{x^{2}y}.
  • O domínio natural onde o campo está definido é todo o plano \mathbb{R}^{2}, pois a expressão usa exponenciais e polinômios, que são bem definidos em toda parte.
    A partir daqui vamos verificar se existe uma função \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\vec{g}.

Passo 2

O que significa ser conservativo (explicando passo a passo)?
  • Um campo vetorial planar \vec{g}=(P,Q) é conservativo num domínio D se existe uma função escalar \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P\quad\text{e}\quad\frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q
em todo D.
  • Uma condição prática (teorema da igualdade das derivadas mistas) é: se P e Q têm derivadas parciais contínuas num domínio simplesmente conexo D e
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\quad\text{em }D,
então \vec{g} é conservativo em D.
  • “Simplesmente conexo” aqui significa, de forma intuitiva, que o domínio não tem “buracos” (por exemplo, \mathbb{R}^2 é simplesmente conexo, \mathbb{R}^2\setminus\{0\} não é).
  • No nosso caso P e Q são combinações de funções exponenciais e polinomiais, logo têm derivadas parciais contínuas em todo \mathbb{R}^2. Portanto bastará verificar se \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x.

Passo 3

Calcule \dfrac{\partial P}{\partial y} passo a passo. Lembre que P(x,y)=2xy\,e^{x^{2}y}. Vou aplicar a regra do produto (derivada de u\cdot v é u'v+uv').
  • Considere u(y)=2xy (que como função de y tem derivada u'(y)=2x) e v(y)=e^{x^{2}y} (que tem derivada v'(y)=e^{x^{2}y}\cdot x^{2} pela regra da cadeia).
    Logo
\frac{\partial P}{\partial y} = u'(y)v(y) + u(y)v'(y) = 2x\cdot e^{x^{2}y} + (2xy)\cdot\big(x^{2}e^{x^{2}y}\big).
Fatorando 2x e^{x^{2}y} obtemos
\frac{\partial P}{\partial y}=2x e^{x^{2}y}\big(1 + x^{2}y\big).

Passo 4

Calcule \dfrac{\partial Q}{\partial x} passo a passo. Lembre que Q(x,y)=x^{2}e^{x^{2}y}. Novamente uso a regra do produto (agora em x).
  • Tome a(x)=x^{2} com a'(x)=2x e b(x)=e^{x^{2}y} com b'(x)=e^{x^{2}y}\cdot 2xy (regra da cadeia).
    Então
\frac{\partial Q}{\partial x} = a'(x)b(x) + a(x)b'(x) = 2x\cdot e^{x^{2}y} + x^{2}\cdot\big(2xy\,e^{x^{2}y}\big).
Fatorando 2x e^{x^{2}y} obtemos
\frac{\partial Q}{\partial x}=2x e^{x^{2}y}\big(1 + x^{2}y\big).

Passo 5

Compare as duas derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y}=2x e^{x^{2}y}\big(1 + x^{2}y\big) \quad\text{e}\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=2x e^{x^{2}y}\big(1 + x^{2}y\big).
Elas são iguais em todo \mathbb{R}^{2}. Como P e Q são contínuas e têm derivadas contínuas em todo \mathbb{R}^{2} e \mathbb{R}^{2} é simplesmente conexo (não tem buracos), pelo critério anterior concluímos que \vec{g} é conservativo em \mathbb{R}^{2} (ou em qualquer domínio simplesmente conexo do plano).

Passo 6

Agora vamos encontrar explicitamente uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\vec{g}. Começo integrando P em relação a x:
\varphi(x,y)=\int P(x,y)\,dx + h(y) =\int 2xy\,e^{x^{2}y}\,dx + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y. Para calcular a integral use a substituição
u=x^{2}y \quad\Rightarrow\quad du = 2x y\,dx.
Com isso
\int 2xy\,e^{x^{2}y}\,dx=\int e^{u}\,du = e^{u}+C = e^{x^{2}y}+C.
Portanto, tomando a constante C incorporada em h(y), temos
\varphi(x,y)=e^{x^{2}y}+h(y).

Passo 7

Determine h(y) impondo \varphi_{y}=Q. Calcule \varphi_{y}:
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x^{2}y}+h(y)\big) = x^{2}e^{x^{2}y}+h'(y).
Isso deve ser igual a Q(x,y)=x^{2}e^{x^{2}y}. Igualando,
x^{2}e^{x^{2}y}+h'(y)=x^{2}e^{x^{2}y}\quad\Longrightarrow\quad h'(y)=0.
Logo h(y) é constante. Denotando essa constante por C, obtemos a função potencial
\varphi(x,y)=e^{x^{2}y}+C.

Passo 8

Resumo final e observações rápidas (para a prova):
  • Verificação chave: checar \partial P/\partial y e \partial Q/\partial x e usar que o domínio é simplesmente conexo.
  • Técnica para achar potencial: integrar a componente P em x (ou Q em y), usar substituição quando conveniente, e depois ajustar com uma função de integração univariada.
  • Não esquecer de checar a consistência derivando a solução e igualando com a outra componente.

Resposta

Conservativo em \mathbb{R}^{2}. Potencial: \varphi(x,y)=e^{x^{2}y}+C.

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